充分条件与必要条件

　　课 题：1.8 充分条件与必要条件(一)

　　教学目的：

　　1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用

　　2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

　　教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断

　　教学难点：充分性与必要性的推导顺序

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　内容分析：

　　这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识.

　　这一大节的重点是充要条件.学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词"或"、"且"、"非"与充要条件的有关内容是十分必要的.

　　关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜.

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说："这是我的妈妈".那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说："你是她的孩子"呢?不会了!为什么呢?因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题-充分条件与必要条件.

　　二、讲解新课：

　　⒈符号""的含义

　　前面我们讨论了"若p则q"形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假."若p则q"为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp;如果由p推不出q，命题为假，记作pq.

　　简单地说，"若p则q"为真，记作pq(或qp);

　　"若p则q"为假，记作pq(或qp).

　　符号""叫做推断符号.

　　例如，"若x>0，则x2>0"是一个真命题，可写成：x>0 x2>0;

　　又如，"若两三角形全等，则两三角形的面积相等"是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等.

　　说明：⑴"pq"表示"若p则q"为真;也表示"p蕴含q".

　　⑵"pq"也可写为"qp"，有时也用"p→q".

　　练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.

　　答案：⑴;⑵;⑶;⑷.

　　⒉什么是充分条件?什么是必要条件?

　　如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.

　　在上面是两个例子中，"x>0"是"x2>0"的充分条件，"x2>0"是"x>0"的必要条件;"两三角形全等"是"两三角形面积相等"的充分条件，"两三角形面积相等"是"两三角形全等"的必要条件.

　　⒊充分条件与必要条件的判断

　　1.直接利用定义判断：即"若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件".(条件与结论是相对的)

　　三、范例

　　例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

　　⑴ p：x=y;q：x2=y2.

　　⑵ p：三角形的三条边相等;q：三角形的三个角相等.

　　分析：可根据"若p则q"与"若q则p"的真假进行判断.

　　解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.

　　⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件;

　　又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.

　　练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.

　　答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件;

　　⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件;

　　⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件;又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.

　　⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件;又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.

　　以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.

　　2.利用逆否命题判断：即"若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件".

　　例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

　　⑴命题：若"A为绿色"，则"B为绿色"中，"A为绿色"是"B为绿色"的什么条件;"B为绿色"又是"A为绿色"的什么条件.

　　⑵命题：若"红点在B内"，则"红点一定在A内"中，"红点在B内"是"红点在A内"的什么条件;"红点在A内"又是"红点在B内"的什么条件.

　　解法1(直接判断)：⑴∵"A为绿色B为绿色"是真的，∴由定义知，"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件;"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.

　　⑵如图2⑴，∵"红点在B内红点在A内"是真的，∴由定义知，"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件;"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.

　　解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若"B不为绿色"则"A不为绿色". ∵"B不为绿色 A不为绿色"为真，∴"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件;"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.

　　⑵它的逆否命题是：若"红点不在A内"，则"红点一定不在B内". 如图2⑵，∵"红点不在A内红点一定不在B内"为真，∴"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件;"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.

　　如何理解充分条件与必要条件中的"充分"和"必要"呢?下面我们以例2为例来说明.

　　先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说"A为绿色"是"B为绿色"的一个充分条件，就是说"A为绿色"，它足以保证"B为绿色".它符合上述的"若p则q"为真(即pq)的形式.

　　再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果"B为绿色"，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果"B不为绿色"，那么"A不可能为绿色".因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的"若非q则非p"为真(即┐q┐p)的形式.

　　总之，数学上的充分条件、必要条件的"充分"、"必要"两词，与日常生活中的"充分"、"必要"意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.

　　例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢?请同学们想一想.

　　四、练习：

　　(补充题)用"充分"或"必要"填空，并说明理由：

　　⒈"a和b都是偶数"是"a+b也是偶数"的 充分 条件;

　　⒉"四边相等"是"四边形是正方形"的 必要 条件;

　　⒊"x3"是"|x|3"的 充分 条件;

　　⒋"x-1=0"是"x2-1=0"的 充分 条件;

　　⒌"两个角是对顶角"是"这两个角相等"的 充分 条件;

　　⒍"至少有一组对应边相等"是"两个三角形全等"的必要条件;

　　⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说，"b2-4ac0"是"这个方程有两个正根"的 必要 条件;

　　⒏"a=2，b=3"是"a+b=5"的 充分 条件;

　　⒐"a+b是偶数"是"a和b都是偶数"的 必要 条件;

　　⒑"个位数字是5的自然数"是"这个自然数能被5整除"的

　　充分 条件.

　　五、小结：

　　本节主要学习了推断符号""的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.

　　判断充分条件与必要条件的依据是：

　　若pq(或若┐q┐p)，则p是q的充分条件;

　　若qp(或若┐p┐q)，则p是q的必要条件.

　　六、作业：

　　1.课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.

　　2.设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件?A是B的什么条件?

　　解：由题意作出逻辑图(右图)，便知，

　　D是A的必要条件;A是B的充分条件.

　　3.预习：课本P35-36内容. 课 题：1.1集合-集合的概念(2)

　　教学目的：(1)进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法

　　(2)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　　(3)会运用集合的两种常用表示方法

　　教学重点：集合的表示方法

　　教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　教学过程：

　　一、复习引入：上节所学集合的有关概念

　　1、集合的概念

　　(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合

　　(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

　　2、常用数集及记法

　　(1)自然数集：全体非负整数的集合记作N，

　　(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ，

　　(3)整数集：全体整数的集合记作Z ,

　　(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

　　(5)实数集：全体实数的集合记作R，

　　3、元素对于集合的隶属关系

　　(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　　(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　　4、集合中元素的特性

　　(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

　　或者不在，不能模棱两可

　　(2)互异性：集合中的元素没有重复

　　(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

　　5、(1)集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q......

　　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q......

　　(2)"∈"的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

　　二、讲解新课： (二)集合的表示方法

　　1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

　　例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

　　注：(1)有些集合亦可如下表示：

　　从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，...，100}

　　所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，...}

　　(2)a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只

　　有一个元素

　　2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条

　　件写在大括号内表示集合的方法

　　格式：{x∈A| P(x)}

　　含义：在集合A中满足条件P(x)的x的集合

　　例如，不等式的解集可以表示为：或

　　所有直角三角形的集合可以表示为：

　　注：(1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分

　　如：{直角三角形};{大于104的实数}

　　(2)错误表示法：{实数集};{全体实数}

　　3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

　　4、何时用列举法?何时用描述法?

　　⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合

　　⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法

　　如：集合;集合{1000以内的质数}

　　例 集合与集合是同一个集合吗?

　　答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集

　　(三) 有限集与无限集

　　1、 有限集：含有有限个元素的集合

　　2、 无限集：含有无限个元素的集合

　　3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：

　　三、练习题：

　　1、用描述法表示下列集合

　　①{1，4，7，10，13}

　　②{-2，-4，-6，-8，-10}

　　2、用列举法表示下列集合

　　①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}

　　②{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}

　　{(1，1)，(1，2)，(2，1)(2，2)}

　　注：防止把{(1，2)}写成{1，2}或{x=1，y=2}　③　④ {-1，1}

　　⑤ {(0，8)(2，5)，(4，2)}　⑥{(1，1)，(1，2)，(1，4)(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}

　　3、关于x的方程ax+b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集;当a,b满足条件_____时，解集是无限集

　　4、用描述法表示下列集合：

　　(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;

　　(2) { 0,±, ±, ±, ±, ......}=

　　四、小结：本节课学习了以下内容：1.集合的有关概念：有限集、无限集、空集2.集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图

　　五、课后作业：

　　六、板书设计(略)

　　七、课后记：　　七、板书设计(略)

　　八、课后记：