充分条件与必要条件


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  课 题:1.8 充分条件与必要条件(一)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学目的:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念,并能在判断、论证中正确运用fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动,为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学重点:正确理解三个概念,并在分析中正确判断fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学难点:充分性与必要性的推导顺序fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  授课类型:新授课fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  课时安排:1课时fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教 具:多媒体、实物投影仪fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  内容分析:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  这一大节通过若干实例,讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  这一大节的重点是充要条件.学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词"或"、"且"、"非"与充要条件的有关内容是十分必要的.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  关于充分条件、必要条件与充要条件,本章对教学要求的尺度,还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学过程:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  一、复习引入:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  同学们,当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候,你向老师介绍你的妈妈说:"这是我的妈妈".那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说:"你是她的孩子"呢?不会了!为什么呢?因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么,这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题-充分条件与必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  二、讲解新课:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒈符号""的含义fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  前面我们讨论了"若p则q"形式的命题,其中有的命题为真,有的命题为假."若p则q"为真,是指由p经过推理可以得出q,也就是说,如果p成立,那么q一定成立,记作pq,或者qp;如果由p推不出q,命题为假,记作pq.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  简单地说,"若p则q"为真,记作pq(或qp);fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  "若p则q"为假,记作pq(或qp).fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  符号""叫做推断符号.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例如,"若x>0,则x2>0"是一个真命题,可写成:x>0 x2>0;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  又如,"若两三角形全等,则两三角形的面积相等"是一个真命题,可写成:两三角形全等两三角形面积相等.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  说明:⑴"pq"表示"若p则q"为真;也表示"p蕴含q".fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵"pq"也可写为"qp",有时也用"p→q".fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  练习:课本P35练习:1⑴⑵⑶⑷.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  答案:⑴;⑵;⑶;⑷.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒉什么是充分条件?什么是必要条件?fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  如果已知pq,那么我们就说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  在上面是两个例子中,"x>0"是"x2>0"的充分条件,"x2>0"是"x>0"的必要条件;"两三角形全等"是"两三角形面积相等"的充分条件,"两三角形面积相等"是"两三角形全等"的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒊充分条件与必要条件的判断fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1.直接利用定义判断:即"若pq成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件".(条件与结论是相对的)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  三、范例fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑴ p:x=y;q:x2=y2.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵ p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  分析:可根据"若p则q"与"若q则p"的真假进行判断.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  解:⑴由pq,即x=yx2=y2,知p是q的充分条件,q是p的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵由pq,即三角形的三条边相等三角形的三个角相等,知p是q的充分条件,q是p的必要条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  又由qp,即三角形的三个角相等三角形的三条边相等,知q也是p的充分条件,p也是q的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  练习:课本P35练习:2⑴⑵⑶⑷.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  答案:⑴∵pq,∴p是q的充分条件,q是p的必要条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵∵qp,∴p是q的必要条件,q是p的充分条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑶∵pq,∴p是q的充分条件,q是p的必要条件;又∵qp,∴q也是p的充分条件,p也是q的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑷∵pq,∴p是q的充分条件,q是p的必要条件;又∵qp,∴q也是p的充分条件,p也是q的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么,如果由命题不是很好判断的话,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2.利用逆否命题判断:即"若┐q┐p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件".fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例2(补)如图1,有一个圆A,在其内又含有一个圆B. 请回答:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑴命题:若"A为绿色",则"B为绿色"中,"A为绿色"是"B为绿色"的什么条件;"B为绿色"又是"A为绿色"的什么条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵命题:若"红点在B内",则"红点一定在A内"中,"红点在B内"是"红点在A内"的什么条件;"红点在A内"又是"红点在B内"的什么条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  解法1(直接判断):⑴∵"A为绿色B为绿色"是真的,∴由定义知,"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件;"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵如图2⑴,∵"红点在B内红点在A内"是真的,∴由定义知,"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件;"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  解法2(利用逆否命题判断):⑴它的逆否命题是:若"B不为绿色"则"A不为绿色". ∵"B不为绿色 A不为绿色"为真,∴"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件;"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵它的逆否命题是:若"红点不在A内",则"红点一定不在B内". 如图2⑵,∵"红点不在A内红点一定不在B内"为真,∴"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件;"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  如何理解充分条件与必要条件中的"充分"和"必要"呢?下面我们以例2为例来说明.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  先说充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.例如,说"A为绿色"是"B为绿色"的一个充分条件,就是说"A为绿色",它足以保证"B为绿色".它符合上述的"若p则q"为真(即pq)的形式.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  再说必要性:必要就是必须,必不可少.从例2的图可以看出,如果"B为绿色",A可能为绿色,A也可能不为绿色.但如果"B不为绿色",那么"A不可能为绿色".因此,必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.它满足上述的"若非q则非p"为真(即┐q┐p)的形式.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  总之,数学上的充分条件、必要条件的"充分"、"必要"两词,与日常生活中的"充分"、"必要"意义相近,不过,要准确理解它们,还是应该以数学定义为依据.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例2的问题,若用集合观点又怎样解释呢?请同学们想一想.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  四、练习:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (补充题)用"充分"或"必要"填空,并说明理由:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒈"a和b都是偶数"是"a+b也是偶数"的 充分 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒉"四边相等"是"四边形是正方形"的 必要 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒊"x3"是"|x|3"的 充分 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒋"x-1=0"是"x2-1=0"的 充分 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒌"两个角是对顶角"是"这两个角相等"的 充分 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒍"至少有一组对应边相等"是"两个三角形全等"的必要条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说,"b2-4ac0"是"这个方程有两个正根"的 必要 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒏"a=2,b=3"是"a+b=5"的 充分 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒐"a+b是偶数"是"a和b都是偶数"的 必要 条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⒑"个位数字是5的自然数"是"这个自然数能被5整除"的fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  充分 条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  五、小结:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  本节主要学习了推断符号""的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分条件与必要条件的方法.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  判断充分条件与必要条件的依据是:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  若pq(或若┐q┐p),则p是q的充分条件;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  若qp(或若┐p┐q),则p是q的必要条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  六、作业:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1.课本P34-35内容,熟悉巩固有关内容.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2.设A是C的充分条件,B是C的充分条件,D是C的必要条件,D是B的充分条件,那么,D是A的什么条件?A是B的什么条件?fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  解:由题意作出逻辑图(右图),便知,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  D是A的必要条件;A是B的充分条件.fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  3.预习:课本P35-36内容. 课 题:1.1集合-集合的概念(2)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学目的:(1)进一步理解集合的有关概念,熟记常用数集的概念及记法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (3)会运用集合的两种常用表示方法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学重点:集合的表示方法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学难点:运用集合的列举法与描述法,正确表示一些简单的集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  授课类型:新授课fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  课时安排:1课时fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教 具:多媒体、实物投影仪fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  教学过程:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  一、复习引入:上节所学集合的有关概念fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1、集合的概念fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2、常用数集及记法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (1)自然数集:全体非负整数的集合记作N,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (3)整数集:全体整数的集合记作Z ,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q ,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (5)实数集:全体实数的集合记作R,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  3、元素对于集合的隶属关系fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈AfSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  4、集合中元素的特性fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  或者不在,不能模棱两可fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)互异性:集合中的元素没有重复fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  5、(1)集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q......fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q......fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)"∈"的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  二、讲解新课: (二)集合的表示方法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例如,由方程的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  注:(1)有些集合亦可如下表示:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  从51到100的所有整数组成的集合:{51,52,53,...,100}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,...}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  有一个元素fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2、描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  件写在大括号内表示集合的方法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  格式:{x∈A| P(x)}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例如,不等式的解集可以表示为:或fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  所有直角三角形的集合可以表示为:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  如:{直角三角形};{大于104的实数}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2)错误表示法:{实数集};{全体实数}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  4、何时用列举法?何时用描述法?fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑴有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法如:集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  如:集合;集合{1000以内的质数}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  例 集合与集合是同一个集合吗?fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  答:不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合,集合= 是函数的所有函数值构成的数集fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (三) 有限集与无限集fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1、 有限集:含有有限个元素的集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2、 无限集:含有无限个元素的集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  3、 空集:不含任何元素的集合记作Φ,如:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  三、练习题:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  1、用描述法表示下列集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ①{1,4,7,10,13}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ②{-2,-4,-6,-8,-10}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  2、用列举法表示下列集合fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ①{x∈N|x是15的约数} {1,3,5,15}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  {(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2} ③ ④ {-1,1}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  ⑤ {(0,8)(2,5),(4,2)} ⑥{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  3、关于x的方程ax+b=0,当a,b满足条件____时,解集是有限集;当a,b满足条件_____时,解集是无限集fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  4、用描述法表示下列集合:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  (2) { 0,±, ±, ±, ±, ......}=fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  四、小结:本节课学习了以下内容:1.集合的有关概念:有限集、无限集、空集2.集合的表示方法:列举法、描述法、文氏图fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  五、课后作业:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  六、板书设计(略)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  七、课后记:  七、板书设计(略)fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!

  八、课后记:fSY听课站-教学视频听课网,优质课,公开课视频听课网站!


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