课题：12.高中数学《正弦定理》探究教学视频，2023年中国教育报“智慧校园”全国系列活动（杭州站）创新案例展示

　　12.高中数学《正弦定理》探究教学视频，2023年中国教育报“智慧校园”全国系列活动(杭州站)创新案例展示

　　说话人 1

　　开始本节课的学习之前，我想请两位同学上来玩一下这个游戏，有没有人自告奋勇的举手?没有，他是需要两个人 PK 一下的，可以一个男生一个女生都可以。好，课代表，那你们两个上来，两个男生上来。好可以的，游戏难度有三个等级，你们想要挑战哪个难度的?直接难的直接三星好吗?直接三星。对，然后一会看一下，我们看一下问题的描述，关于三角形的描述正确的是，然后中间有个分界线，看到了吗?自己点自己的好不好?正确的话你就点一下，如果准备好了，你可以点击开始了。哈哈哈，这干嘛?正确的你就点一下。点它。点它。正确的就点一下，哈哈哈，边边角可以，哈哈哈，hahaha。

　　说话人 1

　　14 个， 17 个，哈哈哈，好了，大家看一下啊。嗯，张朝轩全部都是答对的，没有答错的啊。好，你略胜一筹对不对?我们满分好像是 100 多分。好，请你们两个先回去做一下，略胜一筹。满分有 100 多分，可能他们刚开始还没有准备好，有没有同学想再上来再玩一下?可能你们刚刚在底下已经看了大部分的一个题目了，有没有两，要不两个女生上来好不好?我们理想你上来一个，好不好?然后还有没有哪个女生想上来?徐新泽是吗?对，徐新泽想上来玩一下。

　　说话人 1

　　可以的，没事的，上来吧，我们来挑战一下，如果你们觉得刚才那个太快的话，其实可以把这个难度降低一点，对不对?你们要选择几星呢?哈哈哈，两星的话它速度就会慢一点。两心好不好?两心啊。刚才他们表示速度有点塌，如果准备好了，你就可以点击开始了。一边一个，我们看一下四个同学到底谁是最高分，正确的就可以点一下，哈哈哈，叫，哈哈哈，好了，我们请李想留步，好不好?哈哈哈，他后来居上，一下子成了我们四个人当中的冠军是不是啊?你要不发表一下你的获胜感言?有没有什么来面对?大家说一下你的获胜感言，要努力，是吧啊?说得很好，我们给他一点掌声，好不好了啊?大家刚才坐在底下其实也看到了，我所有的这些问题都是围绕着三角形的边和角来展开的，对不对啊?那关于三角形的边角我们初中是怎么描述的?李珊，初中是怎么描述三角形的边角关系的，你还记得吗?

　　说话人 2

　　可能我可能不太记性，但是我大致记得就是一个由三边构成的一封闭图形，然后其中就是这三个角的，就是可能大边对大角，然后那个三角三个角的度数之和是。

　　说话人 1

　　180，度对度数之和是 180 度，这是三个角之间的关系，对不对?你刚才说了大边对大角，其实就是边和角的关系，对吧?那除了大边大脚，还有如果两个边相等等边等边等角，还有小边小角。对，很好，这是我们初中关于三角形边角关系的一个描述，等边等角、大边大角，还有小边小角。那如果这个小结论如我们用符号来表示的话，就是 a 等于b，是等价于角，两个角相等，对不对啊?那如果是 a 大于 b 的话，那就等价于大， a 大于大b，那如果 a 小于b，就是大 a 小于b，是不是好?那这个结论只是关于三角形边角关系的一个直观的定性描述啊。

　　说话人 1

　　如何刻画它们的定量关系，也就是说在一个三角形当中，我们把 a 对的边为小a， b 对的边为小b，我们这四个变量，也就是两组对边和对角之间的定量关系应该怎么描述?这就是我们本节课要学习的内容，我们不得不重新来研究一下三角形，也就是正弦定理啊。

　　说话人 1

　　大家知道我们在数学当中其实要研究一个新的问题是比较困难的，如果意识难以解决，我们可以尝试从特殊的情况出发，对吧?那如果把研究特殊情况的结论和非方法推广到一般情况，我们得到一般性的解答，是不是就可以解决这个问题了?那三角形如果我们根据最大角的情况可以分成哪几类?根据最大角的情况，嗯，直角、钝角还有锐角三角形，对吧?那我们是不是可以从直角三角形这个特殊三角形出发来展开研究?好了，那我这里呢给大家画了一个直角三角形ABC，那这个三角形当中它的边角关系初衷是怎么讲的哦?大家都异口同声的说出 a 方加 b 方等于 c 方，对吧?那这个就是它三边的关系，对不对?那边和角之间有什么关系?林中航边和角之间，大角。对，大边。对。那你刚才回答的这个和李三这个是不是一样的啊?那直角三角形它又比较特书，它的边和角对着斜边，就是最长的那一条边。对，这个我们也知道边和角的关系呢。嗯，小 b 等于 sign a 乘上小c。那其实你就想到了直角三角形当中我们定义的锐角三角函数，是不是的?好好好，那我们来写一下，那就是 sign a 等于，嗯， a a C ADC 对边除以它的斜边，对吧?好，那除了 3E a 之外，我们还有 cosine a 对， cosine a 等于什么?就是小 b 除以 c 还有 Tangent a。

　　说话人 1

　　好，碳进的 a 的话是不是 a 和 b 的关系?除了正弦于3亿 a 三硬 b 是不是还有3亿a?扩散 a 是不是还有3亿b?扩散硬 b 3亿 b 等于什么? b 除以 c 好，扩散1B。好了，这是我们请坐啊。回答得非常好，这是我们在直角三角形当中给出的边和角的关系，对不对?根据锐角三角函数，好了，那这里每一个等式当中是不是都有斜边小c?那通过小 c 这个纽带，其实我们就可以找到 a 这个边和它对角的正弦的比与 b 这个边和它对角的正弦的比相等。好，我把这个式转换一下，那小 c 是不是就等于a?再除以 sin 大a，那第二个式子里面小 c 就等于b，再除以括 sin 大a，对吧?第三个式子小 c 就等于b，再除以 sin b 这里就可以得到。

　　说话人 1

　　小 c 就等于a，再除以扩散隐蔽是不是好?通过小 c 这张斜边，我们可以找到在直角三角形当中有这样的一个连等式成立，那后面这个几项比值是相等的，就可以说明我们每两个直角边和它对角之间的关系是不是好?那我就想问了，这个特殊三角形当中成立的这个等式，在一般的三角形当中也成立吗啊?随着信息技术的发展，我们完全可以利用几何画板来检验一下，这比你手工计算是不是要方便多了?好，所以我们现在用几何画板给大家来计算一下，在这个三角形当中，你通过这个显示出来的这四个比值，你就会发现刚才那个连等式其实是不成立的，对不对啊?后面这两项就是 b 除以 cos a 和 a 除以 cos b 是不相等，这里显示的就是 a 除以 sin a 是等于 b 除以 3 a b，对吧啊?好了，那根据三角形那个对称，我们三角形是不是有三个角、三个边?如果根据这种对称的规律，我是不是还要加一个小 c 除以31C?是不是啊?我们先看一下在直三角形当中成立吗?直接很角形当中，我们刚才是不是得到的等式是小 c 等于 a 除以 sin a 等于 b 除以 sin b，对吧?我们根据这个比值的规律，是不是想在底下加一个 sin c?能不能加上去?可不可以?不能不能?可不可以?为什么可以啊? 31C 是多少?对， 31C 就是三一九数，是不是一，所以我在这个分母下面配一个一完全是没有问题，对吧?那一的话我就把它又写成上一声音，是不是就好啦?那说明在直角三角形这个等式是不是成立的?那我们现在画的是一般的三角形，是不是啊?我们不妨来计算一下在一般的三角形当中成不成立，我这边已经给大家算了每个角的正弦和余弦，然后我们直接来计算一下 c 除以 31 c，直接用这个小 c 除以 sin c，我们来看看是不是和 a 除以 sin a 相等，诶?既然是相等的，对不对?好，那我们来变换一下这个三角形的形状，这个三角形我可以拖动其中一个点，大家来看一下，在我任意变换这个三角形的形状的过程当中，比值是不会发生变化，但它仍然是相等的，是不是仍然是相等的?好了，那是我们从特殊的三角形出发，结合这个信息技术，我们已经找到了这三项，是不是相等，对吧?好了，这有了这样的一个等式，对不对?好，那这个等式呢?只能说有无数个三角形是不是都满足?是不是?无数个三角形都满足，对吧?那无数是代表任意吗?无数个三角形都满足这个等式。