课题：01高中数学《数形结合 亦思亦画》教学视频，2023年中国教育报“智慧校园”全国系列活动（杭州站）创新案例展示

　　01高中数学《数形结合 亦思亦画》教学视频，2023年中国教育报“智慧校园”全国系列活动(杭州站)创新案例展示

　　说话人 1

　　给大家投了一个票，选出你心目中的函数难点问题，我们一起来看一下统计结果。好，从结果中我们可以看到大部分的同学对含绝对值类型的函数都存在一定的困难，对吧?那么今天这堂课我们就来突破一下这个难点，探究一下含绝对值的函数图像问题。好，接下来我们来看一个具体的函数，请大家画出他的图像。

　　说话人 1

　　好，右边是草稿区，大家可以用，已经有 7 位同学已经交了啊。

　　说话人 1

　　好，我们可以看到超过一半的同学已经交了，那我们先结束作答，没有交的同学也没关系啊。有没有哪位同学可以起来说一下你是怎么做出这个函数图像的?咱们的朋友想说一下。好，许可瑞同学。

　　说话人 2

　　首先就是我把这个函数看成，就是我先做出了 y 等于 x 减一的图像。

　　说话人 1

　　好，你是不是想一边画一边写?老师把这个权利推送给你啊?好，我们来找到你的名字。

　　说话人 2

　　就是我想先做出 y 等于 x 减一的图像，然后它是长这样的。然后就是将它 x 轴以下的部分关于 x 轴进行对称，那我们就可以得到 x 减一的绝对值的图像，也就是像这样，然后 f x 其实就是等于 y 2- 2，也就是说将 Y2 的图像向下平移两个单位，就可以得到 FX 的图，也就是。

　　说话人 2

　　像这样子，所以我们就可以得到 FX 的图像了。

　　说话人 1

　　他的图像是类似于一个 v 字形的。 v 字形，那老师在追问一个问题，你觉得他的这个图像是对称的吗?是的。那怎么来解释这个对称性?

　　说话人 2

　　就是我发现就是通过他观察他的图像，发现他是关于 x 等于一这条直线对称的，就是。

　　说话人 1

　　你通过图像发现它是一个对称的，对吗?对，是的。好，请坐。那同桌能不能来补充一下，如果你想用代数的这个角度去解释的话，怎么来说明左右对称?我觉得就是。

　　说话人 3

　　可以先求找出它的对称轴，然后两边的两边求两边的，那就是到这对称轴。

　　说话人 1

　　相等的点的距离是相等，那你也是从头上点的，就是指是相等的值是相等的，也是我们判断对称的一个非常好的手段，对吗?好，有没有同学可以?好，谢谢这位同学。有没有同学可以补充一下，我们怎么样从代数的角度去解释一下?这个两个是对称的，有没有同学说好?来第一分。乘以串左，就是左边那个函数是。

　　说话人 3

　　y 等于x，负 x 加一，然后函数右边图像可以看成 y 等于。

　　说话人 1

　　x 减3。解散他们两个。

　　说话人 3

　　的，他们两个有同一个焦点，所以然后两边的斜率是互为相反数的，所以。

　　说话人 1

　　可以看成他们是对称，俺们的斜率是互为相反数的，对吗?所以它的一个图像是关于我们 x 等于一，它是对称的，非常好，请坐啊。好，那么刚才经为三位，经过三位同学的努力，我们已经知道了这个图像怎么画，我们也可以发现这个图像的特点是一个 v 字形，而且是一个对称的 v 型，对吗?好，那么我们就不禁思考，这个结论可以一般化吗?那么形如 y 等于a， x 减一的绝对值加 b 这样的函数，它的一个图像是否都是一个对称的 b 型，是吗?是吧?是的。那为什么呢?为什么呢?好，杨佳乐有想法来说看。

　　说话人 3

　　我觉得绝对值函数的话可以把它就是，其实就是一种分段函数的体现，然后它这边的话绝对值里面是 x 减一，也就是说它其实是关于 x 等于一对称，当它 x 大于等于一的时候，就是把绝对值拆掉，应该就是 AX 减 a 加b，然后在嗯， x 小于一的部分，那它就是里面是一个负的话，就应该是负ax，嗯加 a 再加b，然后它的两个斜率，一个是a，一个是负 a 或者相反数的话，那么刚才结论就可以用它就是对称的。

　　说话人 1

　　好，非常好，大家清楚了吗?请坐，大家清楚了，那么老师呈现一下刚才杨佳乐的过程，我们把这个绝对值函数其实本质上就是一个分段函数，我们进行展开，看到右边的斜率是a，左边的斜率是负a，左右两个斜率是互为相反数的。那它们又有一个公共点，所以它的图像是呈现一个对称的 v 型，那么再来思考，这里是不有两个参数，一个是a，一个是b。

　　说话人 1

　　那这两个参数对图像的形状都有影响吗啊?形状 a 有影响 b b 影响的是它什么位置?什么位置?顶点上下位置对不对啊?上下顶点的位置。那么 a 对这个图像的影响是什么呢?开口的大小，那对他开口的方向有没有影响?有哪位同学可以一起来说一下对他开口的大小和方向，他是怎么样受到影响的?好，我们不要紧张啊。有没有同学起来说一下?