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- 所属栏目： 高中数学教学视频
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- 专题：2023年河南省普通高中“双新”实施示范校新教学研讨活动
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03人教A版高中数学必修一2.2《基本不等式》研讨活动教学视频（2023年河南省“双新课堂”）
说话人 1
老师好，转马请坐好。同学们，这是本节课的学习目标。前面我们从赵爽弦图中发现了隐含其中的重要不等式。对任意的实数 a b，我们有 a 的平方加 b 的平方大于等于2A， b 当写仅当 a 等于 b 的时候，等号成b。我们还知道乘法公式在代数式的运算中有重要的作用，而有些乘法公式可以通过对已有的公式进行特殊化变形而得来，例如 a 加b，乘以 c 加d，展开为a， C 加a， d 加b， c 加b，d。如果我们令这个公式中的 c 等于a， d 等于EBE。
说话人 1
好，那么这个公式大家可以观察一下，就变为了什么？完到我们非常熟悉的完全平方公式，那由此我们就会想，我们能否也可以通过对已有的不等式进行特殊化变形而得出一些重要的不等式呢？请同学们来看问题啊。在不等式 a 的平方加 b 的平方大于等于 2 a， b 中如果有限是 a 大于0， b 大于0，并用根号a、根号 b 分别代替 a 和b，那么可以得到怎样的式子呢？我找一位同学来带入试一试啊。好，请这位同学来试一试。
说话人 2
可以得到根号 a 的平方加根号 b 的平方大于等于二倍的根号 a 乘根号b。
说话人 1
非常好，那如果给它化简一下，那请多人再说。如果我们化简一下的话，应该可以变，为什么a。
说话人 2
加 b 大于等于二乘以根号下 a 乘。
说话人 1
b 等于 2 倍的根号 a b。那老师还有问题，那你和刚才这个不等式，你给它对照一下，那么在这个不等式当中，那这个 AB 的范围我们有没有变化？我们得到这个不等式和原不等式对比，a、 b 的范围有没有变化？有， a 变为了什么？
说话人 2
a 大于0， b 大于0。
说话人 1
a 大于0， b 也大于0，那说明我们得到的这两个这个不等式，它应该是适用于两个正双数，正数。好，请坐，那接下来我们对这个不等式继续变形，那变为 2 分之 a 加 b 大于等于根号 a b。好，那这里面老师还有一个问题，那么这两这个不等式它取等的条件有没有发生改变？它取等号的条件有没有发生改变？思考，我找一个来说一说。好，这位同学，请你来说说，你认为这个区的条件发生改变了吗？改变了，改变了。那刚才什么时候取等号呢？刚才是主要是 a 加，嗯，圆不等式当中 a 平方加 b 平方大一点。二 a b 中什么时候取得好啊？圆不等式是 a 等于b， a 和 b 相等的时候。好，那你来看咱变形之后的这个不等式。好，那有没有发生改变？OK？没有。为什么？因为它变化之后。
说话人 2
也是 a 等于 b 之后是。
说话人 1
根号 a 和根号 b 相等，g、 a 和 b 也相等的好，起作非常好啊。那这里面发现取等的条件并没有改变好，那这个不等式就是我们今天所讲的基本不等式。好，请同学们认真观察基本不等式的形式，那么一会我找学员来说一说，那你就有发现它在形式上有哪些特征？
说话人 1
好，大家观察完了没有？我找他们来说一说啊？那在形式上，那你都观察到这个不等式它有什么样的特征呢？我找个同学来说。好，请这位同学来说一说。形式上就是根号下 a b 是要小于等于二分之 a 加b，就是说这 a b 它的几何平均数是要小于等于它的算数平均数。好，先说这个，同学提前预习了，知道了这个根号a、 b 和二分之 a 加 b 的含义。好，那我再找同学来说一说啊。刚才 a b 表示的是两个正数复制，那你在不等式的两侧，那你都发现了，那这两个正数我们都是有什么样的运算呢？老陈来说一说啊。好，这位同学请你来说一说。那你就发现在这个基本不当，不等式当中两个正数它含有它的什么样的运算呢？
说话人 2
嗯，一边是成绩，一边是和反映的是和跟成绩的关系。
说话人 1
很好。行，做，我们在基本不等式当中发现了它里面含有两个正数的和，还有什么呀？两个正数的积累积很好，那这个就是它形式上非常重要的一点。第2点我们再来观察。刚才这个图同学已经说了，那二分之 a 加 b 应该表示的是这两个正数的平均数，那具体的来说，我们把它称作这两个正数A、 b 的算数平均数。好，那刚才这个同学说的也很好，我们把根号 a b 叫做这两个正数的几何形成。好，那我还有问题，那么你从这个基本不等式来考虑，那它反映了这两个平均数有什么样的大小关系？掌权来说啊。好，请这位同学来说，那你认为从基本不等式，那能不能看出这俩平均数的大小关系呢？
说话人 2
嗯，就是 a 和 b 的算数，平均数大约等于它们的几毫平均。
说话人 1
两个正数的算数平均数大于等于两个正数的几个平均数。好，那大于等于，那我们能不能用更简练的语言来说一说？不行不行，非常好，请坐啊，那这个就是基本不等式的一个代数一啊。好，那我们研究完基本不能失落，我们来看第二个问题，那么我们就想能否利用我们学习过的不等式的性质对这个不等式进行证明。下面请同学们自行阅读我们黑板上的证明过程，给大家 1 分钟的时间并思考我们黑板上的问题。现在开始自行阅读并独立思考第一个中问条件和必要条件的相关知识，每一步我们都是在寻求上一步成立的什么条件？第二个为什么我们第五步显然成立之后我们就可以判定我们最前面的基本步骤是一定是成立的。那么这种证明的方法和我们以前学习的方法有不同，那他的思路就是什么啊？大家独立的思考。
说话人 1
阅读完了没有？同学们，读完了。好，那我们先看第一个问题，我找一个同学来试一试，请这位同学来试一试。那你在回答第一个问题之前，那请你来观察，这样第二个不等式和第一个不等式，那你认为如果我从第二个不等式要变为第一个不等式，那我需要怎么变化哦？
说话人 2
不等号两边都。
说话人 1
同时除以2，或者或者还可以怎么办啊？除一二的话还可以怎么办呢？乘 2* 2* 2 的话，咱俩和第一个一样不一样，那乘以不乘以 2 可以，乘以谁和之一啊？乘以 1/ 2。好，那这个里面它利用了这个不等式的什么性质？
说话人 2
不等方两边同时乘或除以一个归零的数，然后不等号5。
说话人 1
变好，请坐在这里面。应该是可乘性在不等式两边同时乘以一个正数，不等号不发生改变啊。好，那我再找出来说说，那你认为第一个我们每一步都是在寻求上一步成立的什么条件啊？好，这位同学，请你来说一说。
说话人 2
应该是都是上一步的创造。
说话人 1
条件，重要条件啊。好，那你来看这样一个问题，那我们要证根号 a b 小于等于 2 分之 a 加b，举，要证二倍根号 a b 小于等于 a 加b。那你从这个虚数过程中来看一看，那我们只需，那我们需要从2，那我们需要怎么办？就如果第二个成立，那么第一个成立即可。那这个时候你看我用不用通过从第一个来推导第二个呢？不用不用。那所以你说那这个我们只需要是它是什么条件即可？充分条件是不是即可？好，非常好，请坐好。回答得非常好，我们每一步都是在寻求上一步的一个充分的条件。那下面第二个问题有点难度，我找一位同学来说一说，这个可能应该来说一说第二个问题。第二，为什么我们最后一个显然成立之后，那么第一个最前面的基本不能是，就是正确的每。
说话人 3
一个都是下面的一个充分。所以第一个，第二个。
说话人 1
回答，他的思路很好，但是我们刚才我们说每一步都是上一步的一个充分条件，所以你看我们推理的顺序是从哪开始？从后往前，对吧？因为我们显然成立是正确的，那它是上一个的什么条件？什么条件？那所以它能推出谁啊？五能推出几啊？四，四能推出几？三，三能推出二，二能推出一，所以前面就是成立的，对，非常好，请坐啊。
说话人 1
那在这里面刚才这位同学说得非常好，那如果我们从这个显然成立了 5 出发，每一步我们都是在寻求上一步的一个充分条件，他 5 能推四，四能推3，那很简单，可以推出到最前面。如果每一步的证明都是正确的，那么这个基本不能是，就一定是你成立的啊。好，那我们把这种证明的方法，我们起一个名字，就叫做分析法。好，那么下面我们来看那这种证明问题的方法，它的思路是什么？和我们以前有什么不同呢？那自己思考它是从什么开始？我们每一步都在做什么？那什么时候这个才算证明完成呢？思考一下，找位同学来试一试。这个同学来试一试。你认为这个分析法有什么样的证明思路？
说话人 4
一般的题目它可能只是从这个题目给出的条件开始，但是证明它是相反。
说话人 1
的，这个叫证明，这个叫分析。
说话人 4
法，然后他是以这个他给出的这个要证明的这个结论开这个开始，然后一步一步的学生和充分条件。然后直到最后是找到一个显然易见的这个数学定理或者是形式或者事实，然后就证明这个证明完成。
说话人 1
非常好。请坐，那这个不，最大的不同，和我们以往，我们以前从条件开始，这一次我们从哪结论出来？每一步都在寻找上一步的一个充分条件，直到什么位置。
说话人 2
得到。
说话人 1
一个显然力位置，这个就是我们用分析法证明为命题的一个思路，那么我们还要注意这个用分析法证明的时候它的格式，我们看到每一步的格式都是要写上什么呀？要证，只要证一直到显然成立，非常好，这个就是我们证明不等式一种方法。好，下面我们来看第三个问题，那么我们看这个基本不等式它有什么样的几何意义呢？那下面请同学们分小组进行展开研究，那么大家自己阅读问题3，并在小组内进行交流，一共四个题目，一会我找一个小组分别来回答其中的每一个问题。好，下面大家开始小组交流。
说话人 2
能不能。
说话人 1
找到。
说话人 2
a， b 是，然后就是圆的半径一定不小于半径。圆的圆的于小于等于半径吗？小于等于半径，这个半径一定不小于半径，一般都一样说法。对，然后成立的时候祖先有什么的就是他的那个点c，对，点 c 和圆心重合，然后它是它的半径，半弦等于半径，对，嗯。
说话人 1
讨论完了没有？讨论完了，那我找一组同学来回答，那我请这一组，那第一个问题你们这组拍哪位同学来回答？那应该说那 a 加 b 不等式中 a 加 b 的值，那在图中哪一条线段可以表示。
说话人 3
线段 a b 可以表示。
说话人 1
a 加线段 a b。好，那这个 a b 其实是这个圆的什么呢。
说话人 3
是这个圆的直径。
说话人 1
非常好。第一个问题，那所以第二个二分之家 b 表示的几何耶？第一个问题还没有完， 2 分之压力表示的几何意图啊？二。
说话人 2
分之 a 压力表示的是这个圆的半径。
说话人 1
表示圆的半径非常好，请坐，大家同意不同意？好，来看第二个问题，你们这一组派谁来回答？
说话人 2
你？来，好好好。
说话人 3
就是先是按因为它那个角度，不是先是就可以用角度来证那个 DCA 和d、c、 b 相似。
说话人 1
角度，是这个证明这个什么和相似指的是什么？相似。
说话人 3
你就是。
说话人 1
两个三角形，两个三角形再给大家说哪两个三角形相似？
说话人 3
DCA 和DCB。
说话人 1
DCA 大家可以看到黑板 DCA 这个三角形，还有哪个。
说话人 3
DCB？
说话人 1
ECA 和 DCB 两个三角形是相似的，那哪一条线段可以表示根号 a b？
说话人 3
嗯，根号 AB 的话就应根号 a b 就应该是c、d，为什么？因为刚正相似了，然后就可以按照那个比例关系来。
说话人 1
哪个比例关系？能不能给大家解释一下？为什么呢？谁和谁相？那这两个三角形相似之后能够得到什么样长度的一个边的一个比值。
说话人 3
得到？是 a 和 a 和a、 b 和c、 d 的比值，a。
说话人 1
b 和 seed 的比值，那刚才这两个在不同的三角形里面啊？好，请坐这一小组同学，谁能不能帮一帮解答？好，行，这位同学来说一下。
说话人 3
根据所知的三角形a、C、 d 和三角形 DCB 相似，我们可以。
说话人 1
得出来，a、 C 比上 DC 就等于 DC 比上CB。然后我们来看一下 a C 比上 BCD 等于 BC 比上CBB，那由此我们可以发现什么？嗯，其中 a C 是 ABC 是b，所以就是 AB 等于d， c 方 a 什么 a C a C 不是 a b a b a 乘 b 等于 d seed 平方， a 乘以 b 就等于 d seed 平方，那所以 d c 就等于谁？根号 a b？好，那我再问一个问题，那刚才这个 DE 是这个弦，那而且这条弦和这个直径是垂直的，那么这个 DC 它有没有几何意义？
说话人 3
它是。
说话人 1
闲的一半，对，好，请坐，非常好啊。那第三个问题你们这一组派谁来回答呀？好，那你来说说，刚才已经前面同学给你分析完了，那么你能不能从几何的角度来看看？这个基本不能，是它能反映出这个图形什么样的几何意义。
说话人 3
然后根号下 a b 它是那个半显。
说话人 1
然后是半显二分之 a 加 b 它是半径。那所以它含义是什么？
说话人 3
就是在一个原理，它那个半弦是。
说话人 1
小于等于半径，半弦小于等于半弦，那如果语言更简练一些，这个小于等于我们可以换。为什么不大于？很好很好，应该是半径不小于纤长的一半。好，请坐。那最后一个问题，你们这一组拍摄回来啊啊？拍摄回来。好，来说，那等号成立的时候，这个图形会有什么样的特征？
说话人 3
嗯，等号成立的时候， c 点应该和圆心重合了。
说话人 1
c 点和圆心重合，那这个时候会发现这个半弦和半径怎么样？非常好的，请坐，感谢这一组同学的分享啊。好，那这个就是它的一个几何一。这么我们来看基本不等式的一个应用，那我们来看 b 已知 s 大于0，求 x 加 x 分之一的最小值。那我们在解这个题之前，我们要学会观察，那这个代数式你来观察一下它有什么样的结构特征？形式上有什么特点啊？找个学员来试试，观察观察。这里面你来说一说。嗯，我发现它在形式上有没有特点？有什么特点？
说话人 2
是一个正数和它的倒数的和。
说话人 1
一个正数和它倒数的和啊。那这个 s 正数 s 分之一也是正数，那说明这个代数这其实本质上是什么呀？两个正数的和很好，而且这俩正数有没有关系？有什么关系啊？乘积为e，应该互为导数，所以它的乘积为e。那这里面，那你来看，那我能不能利用这个基本不等式来进行求解了？可以，好，那你给大家说一说它的一个解题的过程是什么？那这道题我要怎么去写呢？因为 x 大于0。
说话人 2
所以。
说话人 1
x 加 x 分之一好，加上 x 分之一大于等于 2 倍。
说话人 2
的根号下 x to x。
说话人 1
好。那么 g 应该等于。
说话人 2
还有没有？还要写什么？
说话人 1
当写简单。
说话人 2
s 等于 x 分之一，即 x 等于。
说话人 1
一时，等号乘以g， s 等于一的时候，等号成立。所以我们就可以得到什么呢？
说话人 2
x 加 x 在一的最小是为。
说话人 1
2 为多少呢？2，非常好，请坐好，那么这是我们的一个解答，那我们再对这个问题进行一个思考啊。好，那么第二个我们来看，那这里面我们正求出来它为 2 之后，我们又多写了一步，当 s 等于一的时候，等号是成立的，那这一步我可以不可以省略？这部分可以毁于什么呀？那你认为我这一步可以不可以省略呢？找孙来说一说啊。请这位同学来说，你认为我们这个 s 等于一等 2* 6，能不能省略呢？这一步。
说话人 2
不能省，为什么？因为题目中已经限制了 x 的范围，是 x 大于0。如果求出来的是一个复数。
说话人 1
嗯的话的过程非常好的，请坐那这里面大家再来看，那我要求它的一个最小值。那刚才我发现对任何一个的这个 SR 大于 02 年，我们发现它都要大于等于2，那我这样来说，那每一个都大于02，那肯定每一个 s 它的这个 i 加 x 分之一肯定比一要怎么样大，那我能不能说一也是它的一句小数？我能不能说yes？最小事。不能不能。为什么找不到这个啊？找不到。好，这位同学你来说为什么不能说一是他的最小值。
说话人 2
因为当，因为 x 加 x 分之一不等于不等，在他给的条件里面不等于。
说话人 1
一，就是这个等号不能够怎么样取到啊。所以这里面就告诉我们什么是最小值，就是第一个就是我们在这个范围内 s 加 x 分之一的每一个值，我们都要比我们的这个最小值要大于或者是等于。还有一点就是我们在这个范围内一定要怎么样能够找到一个 x 是它的值，等于我们的最小值啊？好，下面来看第三门解，那么通过本地的解答，那你认为，那我要想利用基本数的人求最值，那需要满足什么样的条件呢？需要干什么呀？大家来考虑考虑，从这个题当中我们有没有限制？有没有？首先第一个是什么需要？有什么需要？有非常好， s 大，就是我们第一点要限制这两个数，必须是正数，对吧？好，那还有没有我们利用技能的求职？刚才关答了，里面有什么呀？两个有定值，还有没有和，还有积，其中积是一个定值。
说话人 1
好，那最后我们还要注意，除了正负有定值之外，还有一个非常关键的点，还需要能够要求这个最值，还需要有一点需要保证哪一点呢？这个值一定在范围之内，也就是这个等号必须要取到，哎，要成立，所以我们可以总结一下，那这个就是说第二点，我们讲一下它成立的一个条件啊。就是第一个要满足性质，一定 are 一正， are 定三相乘。
说话人 1
好，下面我们来看第二，第二我找出来读一读命题，读一读题第一个，而请这位同学你来读一读题目。
说话人 2
例 2 已知 x y 都是正数，求证，若 x y 等于定值p，那么当 y 等于 x 的时候， x 加 y 取得最小时2P。二倍根号下p。
说话人 1
二倍根号 p 好，那你能不能分析一下？那我能不能利用基本功能是来解决这样一个最值问题呢？噢，可以。那满足条件。
说话人 2
满足。那你给大家来说一说，因为它的两个数都是正数，所以满足一正，然后二定，就是他们有一个，他们的基因是一个定值，是p，然后x、 y 是相等。然后。
说话人 1
老师解题，那你如果解的话，能不能给大家说说？如果让你解你准备怎么解。
说话人 2
就是用那个基本不等式，然后那。
说话人 1
你给大家说说具体的过程。
说话人 2
因为 x y 都是正数，然后所以根号下x， y 等于，根号下x， y 小于等于 2 分之 x 加y，然后这然后是算出来他们的最小值是二倍根号p。
说话人 1
二倍根号 p 代入系数是吧？ s 加 y 要大于等于 2 倍，根号 x y，那 x y 应该是一个定值脾气，所以那这个时候我们就证明出来。好，请坐，那在这里面注意，当 x 和 y 相等的时候，我们才能够取到它的一个最小值啊。最小值，好，那这个时候大家看，通过对这道题的一个解答，那你有没有发现一个求最值的一个结论，这里面我们求的是什么呢？ x 加 y 的最小值，那也就是说两个正数和要取最小值的时候要有什么样的条件？积是一个定值？除此之外还有没有都是正数？那正数，两个正数，两个正数，还有没有？除了鸡是这个定值之外，我还要保证它能够怎么样能够取到，那就是说这两个正数什么时候取得最小相等那张浩存来总结一下，那刚才通过这道题的解答，你有没有求最值的一个数？一个发现好，请注意。
说话人 1
同学你再说说这个题，刚才我们总结了我们求什么样的最小值啊？嗯，两个正数和的最小值什么时候取最小呢？两个正数积怎样取最小值？取大值？何取最小时候戒取最小最大值。再看看这个题目，积为定值，积为定值的时候和有最小值。好，请坐好，那第二题我就交给同学们来做了，我找同学读一读题来分析并进行解答。下面第二题，大家这个动手在自己的这个练习本上自己独立做一做一会我进行这个拍照英语。
说话人 1
自己动手来试一下第二题。
说话人 1
好，我找了同学的，我们来分享啊。这么重要。
说话人 1
好，我们一块来看一看这个大屏幕啊。那我们看一下这个图片的书写，因为 s 大 0 Y 等于0，满足了什么呀？正好第二个。那么 s 加 y 等于定值和s，那我们利用基等部分式来进行求解，因为根号 s y 小于等于二分之 x 加y，那么我们把 s 给它进行代入，那两边进行平方，我们既可以得到s，乘以 y 要小于等于四分之 s 的平方，那能不能取到这个最值呢？我们还要验证吗？什么时候 IMI 等于 y 的时候等号成立，所以我们发现它的最大值为四分之 s 的性方很好啊。
说话人 1
那么通过这个问题的一个求解，那同学们有没有发现一个求最局的一个结论呢？这里面我们求的是谁的最值？合的值？最值、最大值啊？那两个正数乘积如果有最大值的话，那么要满足什么条件和条件？那对这道题而言应该是何为定值，并且能够这两个数相等的时候应该能够取到方法非常好，那这里面我们可以一块来总结一下，那这里面通过例 2 的学习，我们总结出了两个常见的数学模型啊。第一个就是当两个正数的积为定职的时候。两个正数积为定值的时候，当这两个数取什么值的时候，它们的和应该有最小值，所以我们总结成四个字，就是既定和小和最小啊。
说话人 1
好，我们再来看第二个，那么通过第二个问题我们可以总结出来，应该是两个正数和为定值的时候，这两个数取什么时候？它的积应该取最大值，所以这个应该是核定的。
说话人 1
好，那下面我们再看一个实际生活中的一个问题，那么例3，请同学们自己在自己的作业本上来写一写这个名单，独立完成。那下面我找一个同学上黑板上来说啊。
说话人 1
这个例3，大家在写的过程当中来思考，可以不可以用刚才我们所总结的这两个模型来解决，满足我们刚才所总结的两个模型之一？
说话人 1
我也想到那时候能不能把这个 XY 给它求出来，具体的是吧？
说话人 1
嗯，大家写完了没有？写完了。好，那我们来一块看一下这位同学写的一个过程，第一个怎么样设变量，那这里面我们看一下设边长为 x y，那我们能不能对这个进行一个改进？因为这是一道应用题，所以我们要设这个边长的话，那我们最好把什么给加上。OK，那我们可以设这个边长，或者说这个两条边长分别为x，就是当于是你和外米，对吧？然后第二步由体亦可得，因为面积是 100 平方米米，所以 s 乘 y 等于 100 万的。那么根据我们的模型，那在这里面我们发现这里面出现了什么？为定制基因？为定制我们要求的是什么？和的最小值？那刚才有没有这样的一个模型？有没有有当积维定值的时候和就有最小的啊？所以我们可以直接用我们的模型进行求解，那我们就 x 加 y 要大于等于 2 倍，刚才的模型是什么呢？是 x 加 y 要大于等于 2 倍的根号系数。
说话人 1
完，刚才这个我们设这个等图为谁啊？为p，p，对吧？我们设定处为p，而这个题 x 乘 y 等于100，那这个 100 就相当于我们刚才这个模型中的谁呢？p，那所以利用我们刚才的模型，那 i 加 y 就大于等于 2 倍的根号g。那么 g 应该大于等于 2 倍的根号 100 就应该等于20，那当写仅当 s 等于y，那么当它俩相等的时候，等号应该是成立等于啊。
说话人 1
注意最后还要有一个答。所以边长为分别为 10 米和 10 米的时候，那边长为 10 米和 10 米，说明这个里巴特的形貌应该是什么样的形状吗？两个边长应该是邻边应该是一样的啊。那这个时候使用的篱笆应该是最准的，非常好，那下面我们对这一节课我们进行一个总结，那么下面我们来看第一个，那你能归纳一下基本不等式的研究过程吗？这一节我们讲的基本不等式，我们是如何去研究基本不等式的呢？研究了它在哪些方面找出来说一说啊？请舅舅你来说，你来说说这个啊。
说话人 5
嗯，首先我们通过之前学的照常弦图得到重要不等式进行特殊化，然后得到了这个特殊或一般问题初始化这个方法，然后我们对已有的不等式把 a b 分配换为根号a，根号b，然后得到我们基本作用式的式子，然后接着我们利用那个在几何中证明这个，在圆中证明这个镜头是分别是半弦和半这么一个关系。
说话人 1
我们对它进行了证明，对，还有没有。
说话人 5
然后接下来我们得到的是它的条件一定是要出现是两个正数，然后是出现和的形式，和积的形式。并且要有一个是定值，客户即时定值也要是能够取到的，有 x 值能让这个值是取到的。然后我们还得到两个模型，是求对值的模型，一个是既定的时候它的最小值是和的最小值，既然这个和一定的时候是它的既的最大值，好。
说话人 1
请坐好。那这个同学他把这一节课我们讲的内容进行了一个总结，而且总结得非常好。那么大家想想，我们研究这个基本不等式，我们主要研究了他们哪些方面呢？先研究了什么？先学了什么啊？我们先是不是得到了基本不等式，对吧？研究了它的形式上有什么样的特征，对不对？然后第二个我们研究了它的什么呢？代数一，然后我们对它进行了证明。还研究了什么呀？几何意义以及它的应用，所以我们研究不等式也可以从这几方面我们展开研究啊。那第二个你对基本不等式有哪些认识啊？特别是其中体现了什么样的数学思想方法呢？找同学来说，你写完之后你对布等式有什么样的认识啊？这个组员你来说你总结你有什么样收获？
说话人 2
就是他可以如果就有积或者是和有一个定值的话，能求另一个。
说话人 1
值的。对，值这个是它的一个数学模型的应用，那你对这个基本不等式，那他有什么认识呢？可以从带数字或者几何的角度给大家说一说。两个正数。
说话人 2
的，一个。
说话人 1
两个正数的算数平均数是不小于它的集合平均数，两个正数的算数平均数应该是不小于它的几何平均数，然后还有名几何，意义是。
说话人 2
在一个圆。
说话人 1
中它的半径是，半径是不小于它的半弦的半径不小于它的半弦非常好，那这个时候体用于我们这体现了什么样的数学思想方法研究的时候分类，分类。那怎么分类呢？就分为几何跟那个代数这种分类，那我们研究这个几何特征的时候，我们是怎么办的？怎么做的？数形结合，数和形进行结合，小组讨论对不对？怎么找到它的一个几何的e，对不对？数和形的几何好，请坐啊，那这里面大家总结已经很好了，其实我们可以发现这个基本不等善，它本质上是什么呢？其实就是两个正数的和与它的乘积之间的一个大小的一个关系，两个正数，那么这里面体现了树形结合的思想方法啊。
说话人 1
最后我们来看，那么在用基本不能是解决实际问题的时候，我们要注意它有没有条件？有，要想有没有条件，有哪些一证二病三相等非常好，只有满足这个条件我们才能用，今天我们学习的基本不能是进行求最值啊。好，那下面我们来看一下今天的作业。第一个是一个思考题，若 x 小于0，能否直接利用基本不等式求它的最大值呢？那大家想想这个我能不能直接求解？为什么他不是我们要求什么正数这个 x 小 0 不满足，那这个问题我能不能利用？基本不能，是求解，可以留给大家当做一个思考啊。好，第二个就是我们课本第二习题 2.2 的第一题、第二题、第三题，还有第六题。好，那这一节课我们就上到这里啊。好，下课老师再见，后面再见。