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- 所属栏目： 高中数学教学视频
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- 专题：2023年河南省普通高中“双新”实施示范校新教学研讨活动
- 课例简介：
02人教A版高中数学必修一2.2《基本不等式》研讨活动教学视频（2023年河南省“双新课堂”）
说话人 1
起立老师，好好，请坐。好，朋友们，我们首先来回顾一下上一节内容中我们学习了哪些内容？那边说一声。
说话人 2
我们上节课学习。
说话人 3
了做叉法，比较两个实处的大小，然后又从赵爽闲途中推出了重要不等式。最后类比等式的性质，研究了不等式的性质。
说话人 1
好，那你来说一说从弦图中推出的重要不等式。
说话人 3
a 加 b 方大于。
说话人 1
等于2。
说话人 3
AB 好，其中 AB 有什么要求吗？ AB 大于40。
说话人 1
是任意的实数。好，请坐。那么我们今天将接着从赵爽闲途开始进行今天新课的研究，那么请朋友们先来看一下本节课的学习目标，明确我们要学的内容，要经历的过程。好，那么现在呢？我们来回顾一下上一节课咱布置的那个作业，我们给大家留了一个小组探究的作业，是吧？现在在同学们这个桌面上，请你摆出你们小组探究结果来，开始摆好了吗？你小组探究的结果看看总结为几种呀？三种还是四种？三种？什么样的四种？三种怎么归类的？
说话人 4
实行一个。
说话人 1
两个，我们来一个小组说一说。来这个小组说四种的，你来说一说。
说话人 4
就是以等腰三角形的斜边为边长的时候，它是一个实心的这种方形，然后再有。
说话人 1
两个实心的就是没有重工了，是吧？然后。
说话人 4
然后两边不相等的直角三角形，以它们为斜边的时候，能组成一个空心的正方形。以。
说话人 1
腰部相等，直角边不相等的这个直角三角形的斜边，为什么？正方形边长，是吧？嗯，好。那还有哪个？还有这个，这个这是两类了，对吧？还有哪个？就是以这个，以那个，这是第三类，对吗？这是以。
说话人 4
直角边，一半两倍的直角，两个直角。
说话人 1
边，两个直角边，是吧？两边的和，那这个算第四类吗？不是。
说话人 4
老师，是不是等腰直角三角形两个的直角边相加。
说话人 1
没有摆出来？不是。那他说是这个过等腰的时候和等腰的时候算两类了，是吧？对，对吧？那咱们其实这个可以以这个指导编的，这个以正方形的边长，是这个等腰直角三角形还是不等腰直角形？它无所谓。是什么？是两直角三角形，两条直角边构成了正方形的边长，还是斜边构成了正方形边长？是不可以这样分类？好，那所以我们应该可以是合起来，是不是三类就可以了？对，对，好，那么接下来我们从这个中间，你看是不是上节课？我们说了这个照亮前途呀。是是。唉，好，那我们往下来，前两个图当中，图一、图二，如果里面的两个直角、三角形是全等的，咱们用的是四个全等，是吧？那么两个不同的图形当中，如果用的还是全等的，那么我们能够得出什么面积的关系呢？还是从这个正方形的面积出发？你可以看一下你桌上的这个图形。比如图一它的外面这个大正方形的面积和图 2 这个外面正方形的面积，它们俩之间是什么关系？
说话人 4
图一大正方形面积就等于图 2 大正方形面积加上。
说话人 1
是等关系，是吧啊？你可以先说他俩谁大谁小。
说话人 4
图一大正方形面积更大，然后图 2 大正方形面积就等于他自己本身，然后再加上 4 个就放到图一。
说话人 1
里面哦。这么多发现，嗯，好，那你这样公司，嗯，你的发现应该是不是把他们两个结合到了一起呀？对，好，那我们来用这个动图来仔细的观察一下一个同学的，他们那小组的发现啊。是不是把那个如果是八个全等的话，咱们放在一起，你就会发现中空那个比较大的那个正方形，它和中空比较小的这个正方形，又是说我正方形的直角边，正方形的边是三角形的，不同的边的话，它们的面积关系是不是有一个不等关系，对吧？对，哎，看这样在变化过程当中你会发现。是不是以直角、三角形，两条直角边为正方形，那个边和的话为正方形的边，它那个正方形面积要大一点？对，讲的是不太好表述，咱们以这个字母标上字母的话，你再来说，我们来看看这个，发现刚才负责同学说你说这个面积有什么关系？
说话人 4
大正方形面积用。
说话人 1
字母来说。
说话人 4
就是边长，如果两个直角边设为 a 和 b 的话，就是大众可能面积就是 a 加 b 的平方。
说话人 1
减它这样边长，这个是a，这是b，是吧？对，嗯，大中好。 a 和b。
说话人 4
字母就是i， a 和b，把它变成 a 和b， a 和 b 的 a 加。
说话人 1
b 的平方，这是谁的面积？
说话人 4
就是图一的大正方形。
说话人 1
面积号，然后。
说话人 4
就等于啊。 To us. 8 个直角三角形面积。
说话人 1
加 8 个全等直角三角形面积是多少？
说话人 4
a b 4 a B4A b 然后来加上中空那个。
说话人 1
加上中空小正方形面积多少？
说话人 4
a 减。
说话人 1
b 的平方，它等于它，是吧？对，还有什么发现吗？还有刚才我记得好像说到两种，是吧？
说话人 4
嗯，还有就是图 2 大正方形面积就是。
说话人 1
它的两倍，那就这里面的ABCD。
说话人 4
对，翻折，然后就是它会多出一块，就那ABCD。
说话人 1
的面积是多少？
说话人 4
ABCD 面积就是根号下的，就是直斜边的边长，就是根号下 a 方加 a 方加 b 方。
说话人 1
难道面积就是。
说话人 4
根号下 a 方加 b 方就是 a 方的平方，是吧？对， a 方加 b 方，然后再减去中间中空的小三角两，减去一二，是吧？对，再减去两个a、b。
说话人 1
c、 d 的面积，再减去。
说话人 4
中空那个小小中。
说话人 1
的面积，就是他啦。对，嗯，好，这是他们小组发现了等量关系，好，一起做好。那同学们来看这里面，在我们刚才动图变化的过程当中，你的 a 和 b 是不是在变着？对，当 a 和 b 相等的时候出现了什么情况？
说话人 3
中间的那个正方形，反正方形没有了，它没了，没有了那什么意思？那就说明 a 加 b 的平方等于4， a b 等于4，也就是。
说话人 1
a 等于 b 的时候是中空了，没了。对，那不等的时候。
说话人 3
那就我是不是。
说话人 1
中空，这个就不是 0 了？对，那从这个里面是不是可以得出一个不等关系。
说话人 3
a 加 b 的平方大于 4 a， b 小于 a 加 b 的平方小于 2 倍 a 方等于。
说话人 1
的时候和时候，等。
说话人 3
a。
说话人 1
等于 b 的时候，两个是不是都等了？对，那么接下来你看在这个不等式基础之上，我们是不是可以对它进行，并不能是进行一个变形？嗯，我把 4 同除过去，哎，不能是都同除以 4 得到什么？
说话人 3
a？ b 小于等于 4 四分之 a 加 b 的平方小于等于 2 分之 a 方加 b 方。
说话人 1
如果我们再对它进行一个开方，是吧？正式这个时候我们是边长，嗯，开方的话能到。
说话人 3
什么根号AB？根号 a b 小于等于 2 分之 a 加 b 小于等于根号下 2 分之 a 方加 b 方。
说话人 1
这是我们从前途中我们继续研究它，得到了一个新的发现。那我们再回来回顾一下什么我们昨天上一节课的时候，我们讲的重要不等式。我们看看刚才这个结论和我这个重要不等式，它们两个之间有什么联系？我们先只看前两家，只看这个地方和他什么联系呢。对比一下结构的话，平，我们这样想处平，如果我还用闲途来研究，但是我边长不用 a 来表示，边长只要用。
说话人 3
根号a，根号b。
说话人 1
那得到的结果是什么？
说话人 3
根号a，居然根号 a 加 b 等于长大于，等于 2 倍。根号 a b。
说话人 1
但是这个时候要求什么？a？比如a。
说话人 3
a、 b 都大于0。
说话人 1
从图里面得重要不等式，但是重要不等式是对任意的实数a、 b 是不都乘对，所以它们两个的区别是不是a、 b 有要求对，它有一点等号取等的条件。
说话人 3
a 等于 b 一样，是。
说话人 1
吧？对，好。那么现在我们是不是有了两种方法得到了同一个结论？嗯，得到了。
说话人 3
是吗？ AA a 加 b 大于等于 2 倍根号。第二。
说话人 1
种我们是通过什么呢？把边 a 换成了根号a，是吧？对，那这种方法叫做。
说话人 3
换圆。
说话人 1
那么现在来看，我们得到了这个结论，要求是什么？
说话人 3
a 是 a 大于0， b 大于0，等号取等。 a 等于 a 等当且紧张 a 等于。内容中我们说了这个当写锦裆要怎么理解呀？只有是只有 a 等于 b 等于当是。
说话人 1
它有一个情况，是吧？嗯，仅当是。
说话人 3
只有。
说话人 1
没有别的情况了。当前减到 a 等于b。
说话人 3
时，等号乘以。
说话人 1
那我们现在看，我们得到了这个结论，咱们观察它左右两边是数的什么和什么的关系。
说话人 4
15 平均，左边的话是他们的几何平均数。
说话人 3
右边是算数。
说话人 1
平算数，平均数和几何平均数的关系，是吧？对，嗯，那它是比如说我们说这个数，哈，你看算数平数是加法，对吧？对，那根号 a 乘 b 结合平均数是什么来的？ a 和 b 怎么样运行来的？相乘来的，是吧？那它右边是和，左边是数的一，那这个不等式是不是连接了。
说话人 3
和与积的。
说话人 1
运算？加法运算和积乘运算它们的关系好清楚啊。嗯，那等号乘列条件咱们就不再赘述了，那这个时候我们从代数的角度来看，它是不是表示两个正数的？怎么样？两个正数。
说话人 3
的算数平均数不小于他们的几何平均数。
说话人 1
那我们得到了这样的一个结论，我们就要沿着诶这条主线哈，我们从哪发现它的？接下来它有什么样的这个更丰富的内涵，以及怎么样应用的？我们该展开进一步的研究，那接下来我们来去思考另外一个问题，咱们从图形、从换圆的角度都得到了它，咱们是不是可以考虑用上一节课学的不等式的性质继续进行发现他的探索？但是我们要回顾一个什么问题呢？我们不管是从图形里面、弦图里面，或者说我从不等式重要，不等式换元来，我们都是有一个起点的，对吧？我们现在要是从不等式的性质开始推，我们的起点在哪呢？不容易发现，对吧？嗯，想不到吗？那咱们来分析一下。诶，我要得到这个结论，我可以去寻找哪个结论。
说话人 3
同乘 2 等式两边同乘，那贝贝你说就是要正，就是让等式两边同乘2。
说话人 1
用不等式的性质，是吧？对，同乘以2，同乘以正数。好，接着来。
说话人 3
然后把一项，然后把 a 加 b 移到左边。
说话人 1
嗯，把 a 加 b 移到左边。
说话人 3
然后再。
说话人 1
那把二倍根号 a b 级的右边系数识别也行，也可以。
说话人 3
然后然后把用这里面可以发现是a，它是根号 a 的平方，所以用完全平方公式可以。
说话人 1
a 和根号 a 有平方关系。对，然后。
说话人 3
用完全平方公式，然后再把负号提，然后再变号，把负号。
说话人 1
把两边同乘以-。
说话人 3
1-。
说话人 1
1，然后就得到了。
说话人 3
一个恒成立的式子。
说话人 1
它是一个数的平方，是吧？对，那总是非负。
说话人 3
的恒成立。
说话人 1
那到这是不是就可以结束了？等，还有。
说话人 3
个什么取。
说话人 1
等等号什么时候成立？
说话人 3
a 等于这里，你。
说话人 1
看它等号，你是不是就这个平方数等于 0 啊？对，就是根号a，根号 b 相等，也就是。
说话人 3
a 等于b。
说话人 1
那回顾一下这个过程，我们不知道要从哪里出发，我们就倒着从哪呀？
说话人 3
结果。
说话人 1
去分析，那我一步一步的去找到一个什么恒成立原因，是吧？恒成立的事实或者是定理等结论，是吧？对，那就这种，我是从结果出发，一步一步回去找他成立的原因，也叫职国所因。但是我回去找的时候，你看我第一个要证这个，第一个不等式，我去证第二个不等式就可以了。那 2 和一什么关系？
说话人 3
充分条件。
说话人 1
他们的充分条件就可以了，是吧？对，那每一步都去寻找他成立的。
说话人 3
充分条件即可。
说话人 1
像这种职国所因的方法，咱们它也是一种证明，或者说推导这个基本不等式的方法，我们写上证明二字，它就是一个证明方法，叫做分析法。那我们是不是找到了它的起点呀？嗯，那咱们把这个过程倒回来写一遍，是不是就从起点出发找到了我们要有的结果啊？拿倒回来写啊。因为根号 a 减 Q2B 的平方ID0，接下来把上一步结果写下，然后再给它拆开，继续就是把这过程完全逆过来数就得到了。我们要正常基本补导师对，像这种是从起点出发寻找到结果，一步一步写原因的，是吧？那我们就是由因捣鼓这样的方法叫做综合法，事实上我们不只可以用不等式的性质来推出来，还可以用什么呢？上一节课内容咱们学做差比较大小，是吧？嗯，也可以，但是我们这节课重点是希望大家用不等式的性质来解决一些问题。那我们现在来回顾一下，咱们有集中发现，基本不用说了。
说话人 3
第一种是图形几何，第二种代入代数。
说话人 1
叫代换，是吧？对，换元从重要不等式换来的，还可以。
说话人 3
分析。对。
说话人 1
分析是用不等式。
说话人 3
的性质。
说话人 1
好，那发现了基本功能是之后，咱们再想了解它更多的内涵来看能不能从几何的角度，因为我是从图形中推出来，是吧？能不能从几何的角度再去对它进行一个更深层地了解呢？能不能说出它的几何解释？那么如果我们想对它进行一个几何解释的话，咱们得解决的什么问题啊？你得知道什么样的几何对象可以用二分之 a 加 b 和根号 a 乘 b 来表示，对吧？对，有没有同学有想法？二分之 a 加b，根号 a 乘 b 和你之前学过的什么对象，你能够想到用谁来表示啥？
说话人 4
我认为可以用周长和面积来表示。
说话人 1
谁是周长谁是面积。
说话人 4
二分之 a 加 b 是周长，根号下 a b 是面积。
说话人 1
还是比较容易想到的，是吧啊？对，好，那你一起做。大家觉得沈阳的想法怎么样？哎，有什么发现？好，刘星你先说。
说话人 4
我认为周长和面积它的单位不一样，比较起来比较麻烦。是。
说话人 1
是不是？是比较麻烦，还是。
说话人 3
不能比较，是吧？
说话人 1
好清楚，不容易能想到。还可以，还挺好的，但是我们发现什么，你既然想到了，即使想到了，可是比不了。那咱是不是得想他能够比的呀？要么你是比面积，要么是比什么长度。比长度，是吧？对，那还可以想到什么呀？张张，你说可以。
说话人 4
就是通过初中学习方法，用那个直角三角形中那个。
说话人 1
摄影定理，它是对应的谁呢？
说话人 4
嗯，首先它可以，这。
说话人 1
是根号 a b 还是 1/ 2 加b。
说话人 4
对号，根号 a b，根号 a b 是吧？对，可以用根号 a b 表示出来，那是个高。哎，长度是吧？对，用长度来进行比较。
说话人 1
那摄影精灵的话是不是直角三角形里面呢？是。好，那一请坐，那咱们能够想到就可以继续往前走一步。咱现在老师给你一些这个背景，咱们一起来进行了一下研究，也就是在直角三角形里面，但是我们得保证它总在直角三角形里面。那现在来看 AB 是圆凹的直径，我 AB 是圆凹的直径，你想我是不是 AB 所对的圆周角都是直角？
说话人 3
对。
说话人 1
不是建立一个直角三角形啊？还有点 c 是a、 b 上与a、 b 不重合的一点，我们过点 c 做垂直于a、 b 的弦， d e。那个a， C 等于A， BC 等于b，这个时候 ADBD 一连是不是就出来一个直角三角形？对，可以利用咱们摄影定理，是不是找到根号a、 b 的几个对象是对。好，那咱们来看 1/ 2 假比词是谁？
说话人 3
半径。
说话人 1
半径，因为直径用 a 加 b 表示的。好。那摄影定理怎么用呢？咱们哪个同学来说一说。
说话人 2
嗯，可以用相似。
说话人 1
相似谁和谁相似啊。
说话人 2
用 ADC 和 DCB 相。
说话人 1
A3 直角三角形 a CD 和。
说话人 2
DC B。
说话人 1
DCB 相似，然后。
说话人 2
然后是。
说话人 1
BC 比上。
说话人 2
DC 就等于 DC 比上 a C。
说话人 1
DC 比上 a C，是吧？对。
说话人 2
然后 a C 就等于a，b， c 等于 b a，然后。
说话人 1
得出来电话，是吧？对，可以得到。
说话人 2
d， c 就等于根号a。
说话人 1
b， d c 等于根号 a b，就找到了根号 a b 对应的几号对象，是吧？好，请坐，那么咱们找到了，不错，那么从图里面可以看出他对应的几个对象之间有什么关系。 CDOD 就是它的半径了，o。
说话人 3
d 大于等于 COD 大于， COD 大于。
说话人 2
CCD 等于。
说话人 1
o d 是半径大， CD 是咸的。
说话人 3
一半。
说话人 1
从现在来看是不是大于啊？对，是不是一只大鱼？不是吧？有没有可能 c d 比 o d 大？
说话人 1
你？然后在这来看点 c 在弦上运动的时候， CD 这个弦的一半可以等，是不是一直比 OD 要。
说话人 3
小，但是在等到 o 当重合时相等。
说话人 2
当这个 a 等于 b 的时候，这个 OD 和 CD 是相等的。
说话人 1
a 等于 b 的时候，o、 d 和 CD 是相等的，也就是 c 到了圆心的位置，是吧？对，好，请坐啊。那这是我们的一个发现，那是不是我们就有了一个结论，什么？它的几何解释？你怎么认为？
说话人 3
半在圆中，在圆中半径不小于。
说话人 1
半弦。但是同时老师还希望大家从这里面你看，我给大家了一些具体的数字，从这里面再发现什么呢？那我们的现在这个圆是不是定了？嗯，半径长了，是不是定了？对。那么根号 a 乘 b 这个数据在变化 1/ 2 加尾没变，但是不管它怎么变怎么着，有个最。
说话人 3
根号 AB 有个值，有个根号最大值，有最。
说话人 1
根号 AB 有。
说话人 3
个最大。
说话人 1
值，这个最大值和这个和有什么关系？嗯，那么咱们再从另外一个图上来看一看，这个时候我是让根号 a 乘 b 固定下来了看数据。那么你有什么发现？哪位同学可以来说一说啊？根号 a 乘 b 固定了。
说话人 5
好，那你。嗯，我发现根号 a b 它是不变的，然后二分之 a 加 b 它是变化的，而且当 a 等于 b 的时候，二分之 a 加 b 有最小值，然后与。
说话人 1
根号 a b 相等。好，嗯，那你接着来给大家解释一下这个二分之 a 加给的最小值，它是不是和根号 SUV 相等的？嗯，那我这个时候我说这个 9 是不是 a/ 2 加 b 的最小值？ 9 哦？不是。为啥？不是。
说话人 5
因为它不可能比 10.4 还要小。
说话人 1
他没取到是吧啊？他不可能比他取更小更好，一乘以他最小值，是不是？对，也就是说你要最大值和最小值的话，你首先得保证是他一个什么值啊？是他的纸里面的一个，是吧？对，显示纸里面怎么着的？
说话人 3
最小。
说话人 1
最大。那由此咱不仅发现了咱们这个基本不等式的几何意义，我们还从具体的数，哎得到了一个什么直观感受，什么和两个数的和位定值的时候鸡。
说话人 3
有最大值。
说话人 1
你的鸡为定的时候和。
说话人 3
有最小值。
说话人 1
从具体的数就是从特殊到一般推来的，这是我们的猜想啊。那我们是不是要用严谨的逻辑推理来证明一下才放心哈？那我们来看现在的 s y 都是两个正数。第一个，如果乘积s， y 是定值，那么当 s 等于 y 的时候，积 x 和 s 加 y 有最小值。二位根号比当和 s 加 y 等于定值 s 的时候， s 等于 y 时积有最大值 1/ 4 s 方。我们能不能来证明一下？哪位同学给大家分享一下。
说话人 2
第一个，第一个就是因为这个，因为现用基本不等式， x 加 y 大于等于 2 倍，根由。
说话人 1
x 基本不等式，是吧？对，但是它俩是正数。
说话人 2
好的，然后因为 x y 定值等于p，所以二分之 x 加 y 大于等于根号p。
说话人 1
所以它这个是个定数，是吧？嗯，对，那我们就可以它代入进去得到 4/ 2 加 y 大于等于根号p，对，由此。
说话人 2
得到什么？加 y 大于等于它们。
说话人 1
要是和 s 加 y 是吧？对，再给它变形，两边同乘以 2 的边形对，就得到了 s 加 y 大于等于 2 倍，根号 p 对，好，第二个还有它是有一个什么取等条件，是吧？对。
说话人 2
x 等于 y 时，等号成立。还有，所以总结 x 等于 y 时，有 x 加入最小值 2 倍，根号 p 对。好，那第二个来，第二个是因为 x 加 y 等于定值x，所以。
说话人 1
代入是吧？对。
说话人 2
二分之 x 就大于等于根号下 x y。所以 x y 小于等于 1/ 4 x 方，然后当前景当 x 等于 y 时，有最大值 4 分之等号成立对，然后所以 x 等于 y 时，既x， y 有最大值 4 分之x。
说话人 1
是不是对？好，请坐，那么咱们从具体的数到一般的结论，咱发现了一个什么呀？是不是对任意的数都可以用的一个结论？对，那我就可以写成什么啊？可以两个数的。
说话人 3
和平。
说话人 1
定值的时候。
说话人 3
稀有最大值。
说话人 1
稀。
说话人 3
最大。
说话人 1
那既定。
说话人 3
河流最小值。
说话人 1
有最小。不仅如此，我们还发现什么？你要用它的话，你看这得到了要求是什么？两个正数，还有两个定值，是吧？嗯，一个定值还要保证什么？
说话人 3
渠道的最大。
说话人 1
值？是不是渠道那条件？对，还有什么呢？怎么发现咱们把这个结论给它总结为第一个要求。
说话人 3
是正两个正数。
说话人 1
第二个。
说话人 3
要有既定或要有第三个从一般。
说话人 1
的结论出发，咱们总结出来的，而且在这个过程里面咱们还可以发现它不等式，可以变形，是吧？变形出来两个新的不等式。不同意，基本不当真行读哪个？XB。
说话人 3
AA 加 BA 加 b 大于等于根二倍，根号AB，还有 AA AB 小于等于 4 分之 a 加 AB 小于等于 4 分之 AR b 的C， AR b 的平方好。
说话人 1
是两个简单的变形，那么接下来咱们就应用咱们发现的这个结论去处理一些和或者积的定值问题啊。最值问题，那么首先请同学们来思考一下，咱们这个什么样的两个数和为定，什么样两个数积为定？我相反数。
说话人 5
当时两个相反数的时候，它们两个的和是一个定值为0，然后当互为倒数的两个实数的时候，它们的积是一定的为一。
说话人 1
是对的，是吧？但是同学们发现什么问题了没有？那是有的，谁发的。
说话人 3
这个相反数中有一个数是为负数的。
说话人 1
咱们要用的这个里面是要求。
说话人 3
要求是两个正数。
说话人 1
噢，好的，那请坐，那这个禾梅玲的时候它的一个数是负的，该怎么办呢？你至少两个正数的和一定是什么数？
说话人 3
正数。
说话人 1
那你让这个和怎么样变大一点，是吧？嗯，把它那个负数给它变成正的啊。那么咱们，嗯从基尾定值开始来研究，咱们同学们想到了倒数，是吧？好，那现在来看第一个，我要解决这个问题，该怎么去求它的最值呢？
说话人 3
先是正数 x 大于0，所以 x 分之一大于0，正数所以 x 加 x 分之一大于。
说话人 1
这样说我就听不出来了。
说话人 2
x 乘 x 等于 1 = 2，当前警方。
说话人 1
为什么总必须得写他？
说话人 2
因为这是在他所要看判定在他取值的范围内。
说话人 1
能否取到，是吧？好，能理解到什么x。
说话人 2
等于 x 分之一时及 x 等于1。
说话人 1
s 等于-1。为什么不要？
说话人 2
因为它取值是。 To expanding. 0 是 x 加 x 分之一的最小值为一。
说话人 1
所以 a 所求的最小值多少为一？一还是 2 二二好，我们来看下一个什么变化，平方就直接保证了什么正数记为定，误差不挂。好，那我接下来再看。现在三个条件一正二二定满。什么证不满足定。它和商品形式很像，但是它没有定，是吧？嗯，对。
说话人 3
那怎么办？凑，凑成腚，凑成机顶凑。
说话人 1
一个。怎么凑呢？怎么凑成。
说话人 4
这样？首先因为 x 大于一， x 大于一，然后对，所以 x 减一就大于0。然后所以 x 减 1/ 1 也大于0，那么我们可以把那个 x 加 x 减 1/ 1，把它变成 x 减一，加 x 减 1/ 1 加一。
说话人 1
也就是在这个基础之上减一减一，再在后面再加上一个一，保证是相等的，是吧？对，那后面和上面就一样一样的。好，请坐啊。但是有一个细节，取等的时候谁和谁一样降等。
说话人 3
x 减一和 x 减 1/ 1。
说话人 1
它两个要启动降等，是吧？嗯，看下一个，如果我们的范围变成 s 大于2，什么区别？你得算一下它的确等条件，是吧？对，什么s？算一下来这个 s 等于几的时候，2。
说话人 3
或 0 按0，要。
说话人 4
吗？不要。
说话人 1
今天出现了什么。
说话人 3
大于2，没有。
说话人 1
取不到那个最小值，是吧？对，取不到啊。好，那再来换一个是。
说话人 5
好意义哈。这里我发现它就是正数，还有一个定值它都不符合，所以我们先把它要凑出来一个东西，然后OK，错误，然后用先负，先。
说话人 1
提一个负号。
说话人 5
你负括号，然后。
说话人 1
先用一个负号，我先写上前面这个等于负的。
说话人 5
括号，负 x 里面再负，是吧？对，负 x 加一减 x 分之一。
说话人 1
加上这个地方写。
说话人 5
一减 x 分之一。
说话人 1
这个一减 x 分之。
说话人 5
对，一减 x 分之一，然后，嗯嗯。
说话人 1
再是先把他们两个怎么办了？
说话人 3
变成症状了。
说话人 5
然后要提要用疾病的话再复 x 前面加一个，再。
说话人 1
添上一个一，是吧？嗯，这。
说话人 5
然后再在括号里边，然后减去一个一，然后把那个减一提出来，就是加一。
说话人 1
减去一个一，哎，提出来一个加一，是吧？对。
说话人 5
然后今日就跟上面的就开始用那个基本不等式小于等于。
说话人 1
为什么小于等于啊？然后因为他是写大于等于。
说话人 3
因为你给他提了一个负号，非常棒。
说话人 1
这个地方发现什么？你要乘- 1 是不是得变号呀？对，这原本应该写的是大于等于，可是乘以应该写成。
说话人 3
小于等于负的 2A 根号一减 x 乘一减 x 加一。
说话人 1
当，且仅当。
说话人 3
一减 x 等于一减 x 分之一。
说话人 1
时间咱们同学们下课了，自己完善一下，那么接下来咱们来总结一下这几个便士，希望大家在运用基本不等式的时候注意什么呢？
说话人 3
我觉得首先是两个证书，接下来有满足既定或合定还得渠道。
说话人 1
相等，是吧？嗯，那么咱们下面再进行一个新的融合学习，我们想从这个基本功等式里面再多出一些新的内容，我想知道还有我们还有没有更多的变形？有，我们能不能用不等式的性质来推导一下，发现一下？现在请同学们根据老师的提示来开始啊。如果我们在不等式的左右两边同时除以根号 a 乘b。现在你写下来。记下来，除同时除以根号 h 乘b。这是第一个速度，第二个服务两边同时除以二分之 a 加b，你可以得到什么呢？那是不是还有别的？我们现在就研也就这两个哈，是不是还可以再去除以乘以加上另外别的，比如说2，比如说其他的，你想探讨的，是吧？我们的两边再加上二分之 a 加b，加上根号 a 乘b，是不是还可以得到一些新的结论？
说话人 1
你只做除以根号 a 乘b，除以 2 分之 a 加b。
说话人 1
如果我写完，同学你也可以进行一个别的尝试，昨天写得快一点。
说话人 1
或者你有没有什么新的发现，你也可以尝试着除一下，看看能得到什么结论吗？
说话人 1
写完了可以相互小组交流一下，看看咱们结果是不是一样的。
说话人 1
好同学们来看屏幕上这位同学的发现，那大家和结论和他一样吗？一样。这都一样吗？不是。还有没有新的发现？那你做到什么样？来？不跟我先把他的写上，跟他不一样，跟你再说一说，现在发现他发现那个什么根号 a 除以根号b，加上根号 b 除以根号a，得到一个什么大于等于2，是吧？对。
说话人 3
还有吗？ a 加 b 分之2， a 加 b 分之第二个是什么？
说话人 1
2A b 是吧？
说话人 3
除以 a 加 b 小于等于根号 a b 根号 a 乘 b 还有吗？ a 方加a，这个。
说话人 1
第三个减一，第三。
说话人 3
个是多少？ a 方加 b 方大于等于45， a 方加 b 方重要不能。
说话人 1
是也得出来了，是吧？对，还有没有跟他不一不完全一样的？还有吗哟？嗯，谁都行吧，那这位同学。
说话人 6
嗯，我们得出的是二分之 a 加 b 小于等于根号。
说话人 1
二分之稍等，二分之 a 加b。
说话人 6
1/ 2 加 b 小于等于。
说话人 1
根号下的二分之a。
说话人 6
方加 b 方。
说话人 1
二分之 a 方加上 b 方。你能不能跟大家说说你是怎么发现的？
说话人 6
嗯，我们是根据。嗯，基本不等式，根号下 AB 小于等于二分之 a 加b，然后在嗯不等号左右两边同时加上 1/ 2 加。
说话人 1
加了个 a/ 2 加b。
说话人 6
然后就可以得到二分之根号 a 加根号 b 的和的平方小于等于 a 加b。
说话人 1
二分之根号对。
说话人 6
在左右两边同时乘个 1/ 2，就可以得到二分之根号 a 加根号 b 整体的平方小于等于二分之 a 加b。继续之后在左右两边同时开方，就得到了二分之。
说话人 1
开方还是平方开方，你根根号 a 是这个是吧？二分之根号 a 加根号 b 的平方是不小于二分之 a 加b。
说话人 6
然后方同时开方得到二分之根号 a 加根号 b 小于等于根号下的二分之 a 加b，然后通过换圆，用 a 替换。
说话人 1
这个地方换圆了，是吧。
说话人 6
对，用 a 替换掉根号a，用 b 替换掉根号b。
说话人 1
那就得到。
说话人 6
了二分之 a 加 b 小于等于根号下的二分之 a 方加。
说话人 1
b 方，那么看这是不是和它。
说话人 4
一样？
说话人 3
对。
说话人 1
非常好，大家记错啊。嗯，那我们时间关系哈，咱不能这个得出更多了。还有这个地方它用了一个换元，我们要求是希望大家通过什么性质来得来的，是吧？对，咱们课下再去研究一下利用性质是不是可以得出这个结论。那么现在咱们回过头来看一看咱们这节课学到了什么。
说话人 4
就像这节课，首先我们由重要不等式发现了，基本不等式。
说话人 1
重要不等式发现基本不能，这是怎么来的？
说话人 4
这是通过。
说话人 1
弦图发现了重要不等式，是吧啊？直接从重要不等式，哎，可以数换原则来。然后。
说话人 4
之后我们又分别从。
说话人 1
代数和几何的角度。
说话人 4
对，证明了基本不等式的意义。
说话人 1
证明了基本不等式，也就解释了几何意义，是吧？代数的证明了它的正确性。
说话人 4
最后我们还。
说话人 1
应用了基本不等式。对。
说话人 4
然后还得到了基本不等式的一些变形。
说话人 1
一些变形，那你先来看变形这里面你有没有什么新的更多的发现呀？你看我们刚才写的时候，发现同学们这个创造力，或者说你们的推理能力还是比较强的，你看这个和我们的不懂事是不是连起来了？是，是吧？嗯，还有一个，是吧？也就是我们的基本不等式练这个经典不等式练请坐。
说话人 4
静的不止有刘星说的几条，还有我发现这节课我们还学了几个方法，就是有换元，然后还有树形结合，换。
说话人 1
元，树形结合还有。
说话人 4
分析法，然后还有。
说话人 1
可以分析法，是吧？还有。
说话人 4
综合法，综合法，然后我们又通过树形结合发现了基本不能是和定和积的这个关系数型。
说话人 1
对和与积的关系。
说话人 4
和定的时候积最大，积定的时候和最小。
说话人 1
这是不是一开直接用的模型？但是应用的时候我们应该。
说话人 4
注意一正二定三相等，然后，嗯，在做题的时候我们还发现有些题目他不会直接给出和那个定，是吧？定的时候需要的这个数，然后需要我们自己去加，通过加减来得到。然后第三，我们还得继续注意，当相等的时候能否取值的范围，就是他可能在不在他可能范围内。对，取不到，可能取不到，最大值和最小值。
说话人 1
好，非常好，那时间关系朋友们，我相信大家还有很多收获，或者还有一些困惑，那么课下也可以相互的交流或者跟老师来沟通，那么咱们呢？再看一下咱们这节课，学校学了这么多内容，都是希望大家理解一个什么呢？我们研究一个诶对象可以从哪些角度来研究它？从代数的，从几何的，诶？还从方法上，是吧？还可以有一些什么新的变形，但是还有一个重要的什么？它怎么应用？我们学动物数学东西是要在生活当中应用的，但是我们今天是在哪应用的？是在数学内部来应用的，是不是？那在生活里面怎么用呢？得到我们下一课时来继续研究。好，那么这节课的作业诶，以下，然后在学院上都有。那我们今天的学习就到此为止。好，下课起立，老师再见。