- 客服QQ：2518337999，客服微信：13338237371
- 所属栏目： 高中数学教学视频
- 执教/时长：44:21
- 观看地址： [进入观看]
- 文档下载：
- 专题：2023年河南省普通高中“双新”实施示范校新教学研讨活动
- 课例简介：
01人教A版高中数学选择性必修一3.1.2《椭圆的简单几何性质》研讨活动教学视频（2023年河南省“双新课堂”）
说话人 1
上课起立，老师好，他们好，请坐上一节课，我们在直观观察和动手操作的基础上得到了统一的定义。根据椭圆的对称性建立平面直角坐标系，求出了椭圆的标准方程。那么根据我们以往的学习经验，学习的定义学习的方程，接下来该学习什么了？兴趣该学习性质了？实际上椭圆的性质在我们生活中有广泛的应用，如图一是电影放映机的原理，它正使用了椭圆的光学性质。图 2 当我们知道行星运行的轨迹是椭圆以后，我们就可以利用它去计算卫星的轨迹，为航空航天的发射提供理论依据。图 3 是河南艺术中心，从高空俯瞰，其主体建筑成椭圆形，不仅优美，而且具有很好的力学性质。自古以来，人们都没有停止对椭圆几何性质的探索，为了更好地利用它的性质来造福人类，这节课我们先一起来探究椭圆的简单几何性质。以下是本节课的学习目标，一、能在直观认识椭圆图形特点的基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质，从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法二、通过深刻探究刻画椭圆扁平程度的数学模型，建立椭圆离心率的概念，了解一般的数学发现及证明的规律。三、能根据几何条件求出椭圆的标准方程，并正确画出它的图形。在课前，我们布置了一个预习作业，让大家在同一直角坐标系中画出以下三个方程所表示的曲线，请大家拿出作业在小组内分享并思考交流。以下两个问题，一、你采用什么方法画出的椭圆？问题二，通过你的画图和观察，你认为椭圆有哪些性质呢？请大家开始分享。
说话人 2
我是，嗯，找了4，每个椭圆找了 4 个点，然后再用平滑曲线，然后将这四个点连接起来。
说话人 3
四个点是哪四。
说话人 2
个点呢？就是这四个点是根据这个椭圆的那个方程，然后我找到了跟 x 轴和 y 轴的交点，然后将这四个 4 个点连起来。
说话人 3
40 点。有哪些特殊的地方？
说话人 2
它是焦点，就是在 x 轴、 y 轴上，在 x 轴上 y 为0，在 y 轴上 x 为0。
说话人 3
那你觉得这个椭圆的性质有哪些呢？
说话人 2
椭圆性质你觉得它有对称性，它有一些点，然后还有它这个图形，然后都关于圆点对称，也关于 x 轴和 y 轴对称。
说话人 1
好朋友们，下面我们请两组的代表来说一说他们是怎么做的？首先有请张世平。
说话人 2
我是西安找到了坐标轴上的四个点，然后用平滑的曲线把它们连接起来，就形成这样一个椭圆图形。
说话人 1
那你为什么这么画？有什么依据吗？
说话人 2
因为通过对那个椭圆标准方程的观察，可以发现椭圆都会经过这样的 4 个。
说话人 1
点，很好是观察缩短，请坐下面有请王波来分享一下他的做法。
说话人 3
我是通过列表描点连线的方法先算，先用列表计算出在第一象限内曲线上几个点，把它们标在了第一象限内，然后再用平滑曲线连接起来，这样对称性。
说话人 1
对称到第二、第三和第四象形态就形成了这个图形。那你为什么这么画呢？有什么依据吗？因为我观察图形发现它具有对称性。好的，请坐我们的两位同学在画图的过程中都观察出了椭圆的几何性质，那有没有同学能来总结一下，你认为椭圆有哪些简单的几何性质。
说话人 4
经过我们小组的讨论，我认为椭圆它有一定的范围，就大椭圆而言，我可以看出它的横坐标的取值范围是- 6- 6，它的纵坐标的取值范围是- 2- 2，所以我们认为椭圆是有一定的范围，还有吗啊？然后椭圆通过我的直观感受，我认为它还有对称型。同时它还有一些特殊的点，我们在画图的时候就用到这些特殊点来画出椭圆的图形。
说话人 1
好，那上述三个性质我们都可以通过一个椭圆的观察而得到，那么现在你同时来观测一下这三个椭圆还能看出什么性质吗？
说话人 4
能看出他们的扁平程度不一样，有的远有，有的圆。
说话人 1
有的扁，他们的扁平程度是不同的。那么斯文博从一个椭圆观察，一直到多个椭圆来观察，层层深入，并且帮我们提炼出了这些性质，那我们再来思考一下椭圆的范围，刻画了椭圆图形怎样的几何特征？
说话人 4
椭圆的范围能够刻画。
说话人 1
它的大小，那对称性、特殊点和扁平程度，这些决定了它的形状非常好。请坐，其实椭圆的简单几何性质正是刻画了椭圆图形的大小与形状，为我们快速画出椭圆的草图提供了依据。其实跟我们利用直线的方程和圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，那么下面就让我们从特殊到一般使用焦点在 x 轴上的椭圆， a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一， a 大于 b 大于零，一起来探究提炼它们的几何性质。研究椭圆的范围实际上就是研究标准的方程中 x 和 y 的范围。当 x 和 y 的取值确定了，那么我们椭圆的大小和位置就确定了。首先请你通过直观观察来回答一下椭圆上点的横纵坐标的取值范围是什么呢？好，来。
说话人 3
椭圆的横坐标取值范围应该是负 a 到a。
说话人 1
x 大于等于负a，小于等于a。
说话人 3
那纵坐标呢？如果纵坐标的话，应该是。
说话人 1
负 b 到b，很好，请坐。那我们如何通过方程来说明这个范围呢？下面请大家在小组内分享一下自己的做法，形成小组意见后，我们请一个组的代表来回答一下你们的做法。
说话人 2
你是怎么做的？
说话人 3
我是通过一项的方法，首先是将这个 a 方分之 x 方，乙道方程的另一边就是 b 方分之 y 方，等于一减之 a 方，分之 x 方，然后再通过那个平方的黑方形可以到这个 b 方分之外方，也就是 e 减去 a 方分之 s 方，这个数是大于等于分的，然后我们就可以写的这个 s 范围是大于等于负a，小于等于a，然后我们现在用类似的方法得出来 y 的范围，也就是将 b 方分之 y 方一的方程的另一边就是 a 方分之 s 方等于 1 减。去 b 方分之 y 方，然后我们可以推出来这个，就是也通过那个平方的c，不行，我们给到 1 减去 b 方跟 y 方大于等于0，然后基本上这个是 y 的范围，是负 b 到b。
说话人 2
这样子也是。
说话人 1
好朋友们，下面我们请一组代表来分享一下他们的做法。上 1 号。
说话人 3
我们组的方法就是先通过一项那个将椭圆的标准方程中的 a 方分解， x 方移到方程的另一边，就是 b 方分之 y 方等于一减去 a 方分之 s 方。在通过平方的 CVC 我们可以得到这个 b 方分之 y 方，它是大于等于的，也就是一减去 a 方分之 x 方，它是大于等于 0 的。我们可以知道这个 s 范围就是大于等于负， a 小于等于a。
说话人 3
好，然后 y 的范围也是用类似的方法，就是那个将 b 方分之， y 方移到方式的另一边，也就是 a 方分之 s 方，等于一减去 b 方分之 y 方。然后也是利用平方的对付性就可以得到这个一减去 b 方分之 y 方大于等于0，然后我们可以取得这个 y 的范围是大于等于负b，小于等于b。好，请。
说话人 1
坐张一豪这个小组同学利用方程中变量的有界性，将方程转化为不等关系，求解出范围的方法是解析几何中利用方程求解范围的一般方法。那么下面我们再从形的角度来看一看，这说明了椭圆位于直线， x 等于正负 a 和 y 等于正负 b 所围成的矩形框内。为我们快速确定椭圆的位置提供了依据。那么研究曲线的对称性有利于我们快速而准确地画出曲线的图形。那么如何利用方程来说明椭圆的对称性呢？首先我们先一起来回顾一下点的对称，在椭圆上我们任取一点p，x，y，那么它关于 x 轴、 y 轴和原点的对称点的坐标是什么呢？来段。
说话人 5
新宇回答一下它关于 x 轴对称点的坐标是 x 负y。关于 y 轴是负x， y 关于原点则是负x、负y。
说话人 1
当我们得到这三种情况的对称点之后，那么请你再观察一下，如果将 P1 的坐标带入椭圆的标准方程后，你观察到了什么现象，说明了什么问题？
说话人 5
我们可以观察到方程是不变的，依然是 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一。那么这就说明 P1 也在这个椭圆曲线上，进而就说明椭圆关于 x 轴对称。
说话人 1
好，那么我们用类似的方法，现在将 P2RP3 的坐标也带入标准方程。那你能得到什么结论？
说话人 5
我们就可以得到这个椭圆是关于 x 轴和 y 轴分别对称的轴对称图形和关于原点对称的中心对称图形。
说话人 1
好，那请你最后总结一下椭圆的对称性如何？
说话人 5
椭圆是关于 x 轴对称的轴对称图形，也是关于 y 轴对称的轴对称图形，还是关于原点对称的中心对称图形？好，请坐。
说话人 1
那么我们通过刚才的研究发现坐标轴也是椭圆的对称轴，并且坐标原点是椭圆的对称中心。这种通过利用曲线上的任意一点找到其对称点，验证它的对称点也在曲线上，从而说明曲线对称的方法是解析几何中用方程说明对称性的根本方法。要说出我们的曲线在坐标系中的位置，往往要求出它与坐标轴的交点。那么如何通过方程来说明椭圆与 x 轴和 y 轴的交点呢？哪位同学有想法来。
说话人 6
正义级？求椭圆与 x 轴交点可以定 y 等于0。
说话人 1
好，我们可以先定 y 等于0。
说话人 6
得什么呢？得 s 等于正辉。
说话人 1
所以焦点的坐标。
说话人 6
A1 是负 a 点， A2 是 a 点。
说话人 1
好，那么你再组织语言。同理，我们求椭圆与 y 轴的焦点可以怎么做，能得到什么结论？可以。
说话人 6
连 s 等于 0 并 s 等于0，然后解的 y 等于正负b。
说话人 1
所以得到焦点坐标是什么？
说话人 6
所以 B1 是 0 负b， B2 是0B。好。
说话人 1
请坐。通过刚才的研究，我们知道 x 轴和 y 轴还是椭圆的对称轴，数学里面我们把椭圆与对称轴的交点称为顶点，所以你我们就得到了椭圆四个顶点的坐标。有了顶顶的坐标，那么线段A1、A2、B1、 B2 就有了它的集合意义，我们称线段A1、 A2 是椭圆的，长轴，长度为2A。线段B1、 B2 是椭圆的短轴，长度为2B。根据昨天的学习，F1， F2 是焦距等于2C，那么a、b、 c 也就有了它自己的名字。 a 为长半轴长， b 为短半轴长， c 为半焦距。那么让我们再一次的观察一下椭圆的图形，除了这四个顶点之外，你认为还有哪些点是特殊点吗？焦点左，论焦点中心、目标中心。所以我们总结出来咱们椭圆的特殊点可以总结为一心、两焦、四零点。
说话人 1
通过上述三个性质的研究，我们发现两位同学的作图都是正确的。那么我们根据椭圆的几何性质，总结出了如下能够快速画出反映椭圆图形特征和大小的草图方法。第一步，以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形。第二步，我们以矩形的四边中心确定椭圆的顶点。第三步，用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆，总结成一句口诀，就是一个框，四个点，注意光滑和远边。在昨天的学习中，我们为了使方程显得简洁，利用 a 方减 c 方等于 b 方。通过今天的学习，我们发现根据椭圆的对称性，连接椭圆短轴的端点和焦点所得的线段 B2F1 和 B2F2 长度相等，并且等于长半周，长度记为a，那么这个时候在直角三角形 BROFR 中，它的三边正巧就是ABC。根据勾股定理，我们就得到了 a 方减 c 方等于 b 方的几何意义。同时这个直角三角形因为我们后面研究离心率进行了铺垫。
说话人 1
通过刚才的画图，同学们都发现了椭圆的扁平程度是不一的，那么扁平程度到底是由哪些量来控制影响的呢？我们通过观察椭圆的标准方程和椭圆的定义，尝试来猜想一下，哪位同学能来尝试一下。好，袁杰，首先大家观察标准方程，你认为哪些量能够影响它的扁平程度啊？我认为 AB 可以，为什么呢？
说话人 6
因为当 AB 确定的时候，这个椭圆的方程就确定了，这个椭圆的图形就确定了。
说话人 1
很好，那我们再来看，根据它的定义，你猜想一下哪些量可以啊？我觉得 AC 也可以。那既然 AB 和 AC 都可以了，我们不妨再大胆一点。你觉得谁和谁还可以， b 和 c 也可以。那为什么呢？
说话人 6
因为 a 方等于 b 方加 c 方，他们三个量可以相互转换。
说话人 1
所以我们猜想 BC 也可以刻画椭圆的扁平程度非常棒，请坐。那么袁杰同学通过自己的观察与总结，为我们找到了探究扁平程度影响的三个方向。好，那么看到 ABC 既然可以影响腿的扁平程度，不禁就让我想起了刚才的那个特殊直角三角形了，它的三边是不是刚好是ABC？于是我们一起来看下面的动图。现在我们让长轴不变 b 发生变化，请你观察直角三角形 B2OF 2，那么在变动的过程中，你认为这个三角形的哪个量能够刻画影响它的扁平程度？
说话人 6
这个序我认为角 B2F2O 可以。
说话人 1
为什么呢？你看到了什么现象？
说话人 3
因为这个角越大的时椭圆越圆，就叫越小时。
说话人 1
椭圆越 b 越扁。好，那为了更好的去刻画这个角的大小，我们能不能用这个角的某个代数值来表达它呢？
说话人 3
你看可以用它的三角。
说话人 1
函数，叫三角函数，能举个例子吗？
说话人 3
它的余弦值a。
说话人 1
分之c，余弦值是 a 分之c。既然余弦值可以的话，那还有其他的三角函数值可以吗？
说话人 3
那正弦值 a 分之 b 和正切值 c 分之b。
说话人 1
都可以好，总结得非常完整，静坐。那么通过我们的观察就形成了研究椭圆扁平程度刻画模型的三个方案，方案一，探究 a 分之 c 八二、探究 a 分之b。方案三，探究 c 分之比。那么首先我们先一起来探究方案一，利用椭圆规绳子和坐标纸，通过小组合作学习探究 a 分之 c 是否能够刻画椭圆的扁平程度。那么在开始之前，请大家思考一个问题。当 a 分之 c 发生变化时，可能是a、 C 两个量同时变化而导致的，那么不易观察实验结果，我们能不能通过某种方式设计出来的方案，让 AC 中只有一个量变动呢？可以怎么设计呢？可以让 AGC 动或者怎么样 agenda 被动，这样我们就形成了两个实验方案。下面请我左手边的三组同学来验证一下方案一，右手边的同学来验证一下方案二。
说话人 2
一到这边就短了，你的手指压根诶，让我找一下那个线在这。嗯，谢谢。
说话人 2
让我标一下这个日期，这个是OK，没关系，有一点点误差。刚才这个指的是动了一下。所以说我们看出来当 c 为 7 时，然后这个椭圆更圆一点， c 为 11 时，这个椭圆更扁一点。
说话人 3
所以说他是哪个值是定的？是咱们是a。
说话人 2
定的， a 定c。
说话人 3
是怎么变的？
说话人 2
就是根据 c 来变嘛， c 增大他就增大， c 减小就推荐一下，所以我们组就可以看出来。当 a 为定值时， c 取 7 和 11 两个值， c 为 7 时， a 分之 c 偏小，这个椭圆更圆一点，然后 c 为11，是 a 分之， c 更大，然后这个椭圆更扁一点。所以我们组得出来什么结果？
说话人 2
先进入。
说话人 1
刻画好朋友们，下面我们分别请一组同学来分享一下他们的实验过程和实验结果啊。先由这组同学来。
说话人 2
我们可以看到，当 a 为定值时，取 c 为 7 和 11 两个值。当 c 为 7 时， a 分之， c 这个值偏小，这个椭圆更圆。当 c 为 11 时， a 分之c，这个值更大，这个椭圆更扁，所以我们组认为 a 分之 c 是可以刻画椭圆的扁平程度的。
说话人 1
好，那么在你们操作的过程中有没有哪些个地方需要跟同学们强调一下呢？我们。
说话人 2
需要在作图时，这个作图工具不能移动，然后保证 a 为定值，才能避免实验误差。好的。
说话人 1
那么所以通过你们的观察，咱们所得到的实验结果应该是，当 a 分之 c 越大时，椭圆越怎么样？越扁平。当 a 分之 c 越小时，椭圆。
说话人 2
怎么样？玉圆非常好。
说话人 1
请坐，那么这边三组哪一组同学愿意来分享一下？来，肖靖宇，你们组来分享一下。
说话人 7
我们研究的是 c 定 a 动，当 c 是定值取 4 时，我们取的第一个 a 是 a 等好，可以了，取第一个是 a 等于6，就是里面这个椭圆。这个时候 a 分之 seed 值，它是比较大的，可以看出这个椭圆它是比较的扁，然后取第二个 a 的值是16.5，是外面这一个椭圆，它的 a 分之 seed 值就比较的小，所以可以看这个椭圆它就比较的圆，所以我们组得出结论， a 分之 c 可以用来刻画椭圆的扁平程度。
说话人 1
那在你们操作的过程中认为有哪些个注意事项要跟同学们说一说吗？
说话人 7
我们认为在画图时取的这个 a 的值不要太大，如果过大的话，它可能会超出这个坐标值，就是没法画出完整图。
说话人 1
非常好就画出去了，是吧？对，刚才我正好看见那边有同样的情况，感谢同学们的分享。两组同学分享最后的结果都是认为 a 分之 c 能够刻画它的扁平程度，但是我觉得我们的这个实验还不够完整。正像我们分类讨论一样，讨论了大于0，讨论了小于0，咱们是不是还得考虑一下等于 0 的情况啊？对对对，所以我们来看第三个方案，如果a、 C 是同时扩大或缩小相同的倍数，那么此时我们的实验结果是怎样的呢？咱们一起来看动画。
说话人 1
好，现在我们让 a 和 c 同时来扩大，大家直观的观察一下所形成的这一系列的椭圆，它的扁平程度怎么样？相同是相同的吗？所以我们就弥补了刚才我们实验中的不足，进而说明 a 分之 c 确实可以刻画椭圆的扁平程度。在刚才的实验中，我们充分地体现了把多元化成一元的思想，也就是我们自然学科中常用的控制变量法。那实际上在我们的预习作业中，已经向大家展示了 a 分之 b 对于椭圆扁平程度的影响。让我们一起来看图，从方程一看向方程2。
说话人 1
在 a 没有变的情况下， b 已变大，此时 a 分之， b 变大，我们的椭圆从扁到扁圆，那么反向看，从 2 看回一。我们的 a 没有变动， b 从 4 变成一， a 分之 b 减小，我们的椭圆从圆变扁。那么我们再来看方程一和方程3。当a、 b 同时扩大相图倍数的时候，我们的腿扁平程度一致的，所以我们说 a 分之 b 也可以刻画椭圆的扁平程度。那么方案三作为今天课下的探究作业，我们共同来完成。
说话人 1
数学家经过了前后很长时间的努力，最终选择了离心率这个概念来刻画椭圆的扁平程度，我们称椭圆的焦距与长轴长的比， a 分之， c 为椭圆的离心率，用 e 来表示，也就是 e 等于 a 分之c。这样的话我们刚才所观察到的这个几何性质就有了自己的名字离线率。
说话人 1
那么下面请同学们思考一个问题，由于在椭圆里面 a 是大于seed，所以离心率的取值范围应该是什么呢？ 0 到 0 到，应该是 0 到，那我们再思考一下，刚才我们发现 a 分之 c 和 a 分之 b 都能刻画椭圆的扁平程度，那么它们之间有什么代数关系吗？我们一起来尝试一下。
说话人 1
我们来看，可以将 a 分之 c 写成根号下 a 方分之 c 方，那 c 方可以怎么替换 b 方？ a 方 a 方 b b 方 c 方减 b 方，从而我们得到了等于根号下一减 a a b 的平方。这样的话，我们就找到了 a 分之 c 和 a 分之 b 的代数关系。
说话人 1
那同样的道理，应用词的词类的关系，我们是不是发现 c 分之b， b 分之c， b 分之a， C 分之 a 都可以刻画椭圆的便平程度吧？嗯，那问题又来了，既然都可以，为什么非要使用 a 分之 c 来刻画典型程度呢？主要是以下两个原因，第一，在椭圆的定义中， a C 是原始量， b 是一个引入量。
说话人 1
第二， a 分之 c 蕴含着圆锥曲线几何特性的统一性，随着我们后面的学习，我们会更加深刻的认识到这个问题。好，虽然在实验中我们观察到了 a 分之 c 对于椭圆圆扁程度的影响，那么下面我们再一次的提升一下，咱们通过动画仍然是以 a 定 c 动为例，来看一看离心率到底对于我们的椭圆存在着怎样的影响。那么这次看的时候老师就提一个要求了，不仅要看对于原扁程度的影响，还要去观察对 b 的影响，还要看一看我们的焦点是如何运动变化的。首先我们来看当 c 增大的过程中， a 分之 c 怎么样增大，那么我们整个椭圆是不是变扁呢？在这个过程中，大家关注一下F1、 F2 两个焦点是怎么运动的，是离着我们的中心越来越远了。好，那么当我们的 c 现在取到8，也就是我们的 a 分之 c 等于一的时候，图形已经变成什么了？就是变成了一条线段，我们的 b 是不是已经变成 0 了？是，是。那我们反向往回运动， c 减小 a 分之， c 减小，椭圆变圆。我们的焦点现在向哪运动？向心中心运动。
说话人 1
那么当我们的 c 取 0 及 a 分之 c 为 0 时，我们的图像变成什么了？圆变成了一个圆，所以我们再次来看离心率实际上是不是一定程度上描述了我们焦点偏离中心的程度啊？好，那么同时我们也得到了离心率等于 0 和离心率等于一这样的两个特殊情况。好的，通过我们的性质研究，我们把焦点在 x 轴上的椭圆的基本性质探究完了。那么焦点在 y 轴上的椭圆的基本性质又如何呢？我们请一位同学应用类比的思想来回答一下这个问题。好。
说话人 6
嗯，要点在 y 轴上的椭圆坐标 x 大于等于负b，小于等于b，纵坐标 y 大于等于负，a，小于等于a。同时它是轴对称图形对称轴是 x 轴和 y 轴同时关于原点对称顶点 A1 是0，负V， a 二是 0 a， B1 是负B0， B2 是B0。然后它的长周长依然是2A，短周长依然是2B，焦距依然是2C，离心率 e 仍然等于 a 分之c。
说话人 1
所以你对比一下这两种情况，我们的性质改变了吗？没有改变。那这说明了什么。
说话人 6
呢？这说明椭圆的性质与坐标的选取没有关系。
说话人 1
非常好，请坐啊。这是一个本质上的性质，那么学习了性质以后，我们来尝试应用现在已知方程如何快速地求出它的基本性质，请大家独立完成。然后我们请一位同学来口答，好，同学们，我们请一位同学来分享一下你自己的做法。
说话人 8
得到 25 分之 x 方加 16 分之 y 方等于一。所以 a 等于5， b 等于4，所以长周长 2A 等于10，反周长 2D 等于8， c 等于根号下 a 方减 b 方等于3，离心率等于 a 分之， c 等于 3/ 5。焦点的坐标是 F1 是-30， F2 是 304 的，顶点的坐标是 50- 5004 和 0- 4。
说话人 1
答得非常流畅，大家做出来的结果和它一致吗？一致。那我有一个问题，你认为在你上述解题的过程中，哪一步是最关键，最值得给大家做个提醒。
说话人 8
你最关键的是要把这个方程画成椭圆的标准方程。
说话人 1
也就是第一步先画标准方程。为什么要画标准方程？
说话人 8
把它画成标准方程，我们可以直观地观察到 a 和 b 的值。
说话人 1
从而为我们后面的这个运算是不是做铺垫呢。嗯，很好，请坐啊。那么既然给了方程，我们能够畅通无阻地计算出它的几何性质。现在反过来，如果我把几何信息告诉大家，我们能不能快速的求出方程呢？好，请大家先动手尝试一下，我们请同学上黑板来分享。
说话人 1
好，请你先跟大家分享分享你的做法。
说话人 9
就是毕竟这个题因为不知道椭圆的焦点是在 x 轴还是在 y 轴上，所以我先设了这个椭圆方程为 MX 平方，加上 NY 平方等于一，其中 m 大于0， n 大于0，减 m 等于n，然后把 p 和 q 这两个点。
说话人 2
到这个方程里面，就可以。
说话人 9
得到 9 m 等于一和 4N 等于一。你可以给出来得到 Mn 的值，然后可以得到这个椭圆。
说话人 2
标准方程为九分之 x 的平方加上四分之 y 的平方等于一。
说话人 1
那你为什么要这样假设方程呢？
说话人 9
就是这样假设的话， p 就可以不需就可以避免那个不知道字眼的去在 XU 还在y。
说话人 1
轴上，就可以避免分类讨论了。是这样，好，请回啊。那当然这个题如果用分类讨论的方法能不能做？可以这一问就告诉我们了。求解标准方程，我们往往要先定位，确定一下我的焦点位置在哪儿，然后再定量进行计算。还有同学有不同的做法吗？举手，最快来一个人。
说话人 2
嗯，可以看出 p 和 q 是椭圆的两个顶点，有椭圆的几何性质。可以得出 a 大于b，所以 a 等于3， b 等于2，且交点在 s 轴上。
说话人 1
所以应用今天的几何性质是不是马上就能判断出来？我是焦点在 x 轴上的椭圆的，嗯，那立马就能知道 a 和 b 是谁了吧。嗯，所以这个运算速度就非常快了，就可以做出这一关，非常棒。请坐活用我们的几何性质往往可以帮我们达到意想不到的效果。那我们来看第二个，在我们看这个答案之前，我们先对照一下两位同学的做工，这边是不是有很多文字，然后我们这边在答题的时候缺少了什么？缺少了必要的文字描述，开始我们可以再加入一个由题可知，那中间的叙述我们也可以再加入一些，最后要答出，所以椭圆的标准方程为，那我们来观察一下。通过几何信息的解读，我们求出了 a 等于10， c 等于6， b 等于8，和大家计算的一样吗？那方程最后的结果一样吗？有不同的看法吗？好，来，你看你有什么看法？来跟大家分享一下，因为。
说话人 2
根据题没有办法判断焦点在 x 轴还是 y 轴上，所以还有一种情况是 x 方比64，在 y 方比 100 等于。
说话人 1
所以 10 月说还有一个 64 分之 x 方加 100 分之 y 方等于一，这样是不是就完整了？对，非常好，请坐，一定要注意讨论清楚，通过今天的学习，相信大家有很多想法，那么请一位同学来分享一下你对本节课的认识。上一阵。
说话人 3
在观察一个几何。
说话人 10
的简单几何性质时，可以先通过直观的观察这个几何来确定他的几何性质，再通过寻找那个影响几何的要素之间的代数关系，通过代数的方法再去反复去验证，找到了几何性质。
说话人 1
那也就是说就像我们今天是一样的，先通过几何直观来进行观察，然后再使用我们的代数方法进行检验。嗯，还有别的吗？你好好，请坐啊。还有没有同学有看法。
说话人 6
来聊一下？我认为在探究椭圆的圆扁程度的过程中，还学到了多元化译元及时及控制变量的一个思想。
说话人 1
用控制变量的思想来进行实验，容易观察出我们的实验结果。好，请坐。那么如果让你去研究一个新的曲线的几何性质，比如双曲线，你打算如何分析？如何研究呢？
说话人 11
这个样，我认为可以先画出来双曲线的图形，然后再观察它的图形，然后再像这节课学的一样，然后去利用双曲线它的方程去探究它的性质。
说话人 1
那好，举个例子，如果我们要探究一下双曲线的对称性，现在应该怎么办？可以先。
说话人 11
在双曲线上面任意找一点，然后再做它关于 x 轴、 y 轴还有原点的对称点，然后去探究他的性质啊。
说话人 1
好，请坐，那么今天我们所学习的这些性质就是椭圆性质的全部吗？实际上远远不止于此。让我们再回到开头所举的三张图片，图片一展示了椭圆的光学性质。图片 2 向我们展示了椭圆更为复杂的几何性质，比如焦半径的范围，我们的面积如何求解，还有中间许多斜率的恒成力的问题等等。而图片 3 向我们展示了它的美学特性。那请大家在课下的时间以小组为单位查阅有关资料，选择上述三个方向中的一个方向来完成一篇数学小论文，作为今天的作业。最后是今天的课堂作业，这节课我们就上到这里，下课。
说话人 3
起立。老师。
说话人 2
再见，再见。