课题：02初中七年级下册数学专题学习《几何多情况问题中分类讨论的应用》大单元主题式教学研讨教学视频（2023年课例）

　　02初中七年级下册数学专题学习《几何多情况问题中分类讨论的应用》大单元主题式教学研讨教学视频(2023年课例)

　　说话人 1

　　在这一节课开始之前，老师准备了一个游戏环节，不知道同学们喜不喜欢玩游戏啊?那我们需要两个同学，有没有人愿意来挑战一下?好，我最先看到这两位同学，那这两位同学来吧。好，左边一个同学，右边一个同学不用拿麦克风，对。好，然后我们这个题目是一个判断题目，然后来进行对错的判断。然后我们每道题有 3 秒钟的时间做好准备了吗?好，面向大屏幕啊，其他同学看他们答的对不对?好，摁中间的开始键就可以开始了。好，开始，go。 come on。Berg。

　　说话人 1

　　amazing。哇，西瓜广雅的同学们太棒了，所有的题目全部都做对了，而且是两个人一起做对，老师准备了一个小礼品来送给你。好哇，全对，太棒了，实际上我们想通过这个小游戏带着大家来回忆一下我们相关于平行线的一些相关知识，同学们表现真的太优秀了。好，上一节课啊，方聪老师带着我们一起来学习了在几何问题当中的这个分类讨论的一个情况。实际上这个问题我们在小学的时候后就已经学过了，只是那个时候我们对于分类讨论的这个概念还不是很清晰。那首先李老师带着大家来回忆一下这个题目，a、 b 两地相距 40 千 60 千米，甲乙两个人分别从a、 b 两地相向而行，你如何来表示两人相距 4 千米，然后给你 1 分钟的时间把这幅图画在学案上，老师会拍你们的图片来进行一个展示。好，开始，好，来，时间到，来回正老师找了两幅图，同学们来观察一下它们两幅图。好，我们先把这个图调正，同学们来观察一下哪幅图画的是正确的，左边还是右边?左边，大家一起来说是不是左边这一幅图是正确的呀?好，那请刚才我拍这幅图的同学来帮我分享一下你是怎么来思考的?

　　说话人 2

　　首先我就是想如果甲乙是还没有相遇的话，他们相距 4 千米，所以就是第，就是最上面那一幅图，如果甲乙已经相遇之后，然后两个人在互相走 4 两公里，就是两个人的距离就是变成。

　　说话人 1

　　了 4 千米，大概这样非常好，来，请坐。我们在相聚之前来，我们先把掌声送给他。好，实际上我们在相聚之前是不是有可能会相聚 4 千米，相遇之后也会相距 4 千米?那产生这个问题的原因刚才实际上我们都已经学过了，是因为题目条件是不确定的，我听到了不确定的声音，因为题目条件不确定，所以导致了分类讨论情况的一个产生。那在这一个实际问题，我们转化成这个数学问题的过程当中，甲乙两个人在这一幅图当中，实际上我们把它看作是什么呀?什么点?动点非常好。言外之意，动点问题就是我们在分类讨论的过程当中的第一个步骤，需要我们注意确定好分类讨论的对象，他是谁，又因为我们刚才条件不确定，导致了我们要进行分类讨论，是在相遇前还是相遇后，所以我们锁定了我们分类讨论的标准。第三步，同学们把图画出来之后，我们就进行了逐类的讨论，在讨论的过程当中，就会有一些题目的条件是符合题意的，但有一些条件不符合实际情况，我们就会把它进行一个取舍，那么最后一步就非常关键了，我们要把你取舍的条件进行一个归纳总结，把不要的丢掉，要的留下来。

　　说话人 1

　　以上四步就是我们在解决这种分类讨论问题的时候，同学们需要注意的分类讨论的基本步骤，那这个步骤就是我们接下来解决其他分类讨论问题的一个重要利器。好的，那除了我们几何多情况问题当中的动点问题还有什么问题?动脚还有没有?我听到了动线。没错的，实际上有动点就有动线，就有动面。那我们接下来老师就带着大家看一个去年在深圳发生过的一个新闻，嗨，同学们，抬头看。

　　说话人 1

　　好我们深港两地的部门，为了防止出现这种非法偷渡的情况，在深圳河的某段的流域安插了我们两个可旋转的探测摄像灯。同学们来仔细抬头观察一下，这一幅图就是我们的深圳河。来观察一下这一幅图当中老师标出来的这两个河岸，好比我们数学当中的什么图形，哎，平行线。好了，那可旋转探测的灯发出来的光线又是我们的什么?哎，射线没错的，我们就把我们生活当中的现实问题抽象成为我们实际上的我们熟知的数学问题。好，那我们给它加上一个旋转的条件灯 a 射线从 a m 开始，按照顺时针的方向进行旋转，到 AN 这里立即回转。射线b，从 BP 开始，按照顺时针方向旋转到 BQ 立即回转，两灯不停交叉照射巡视。好，那我们接下来李老师给他们标上一些数学条件，希望同学们能够利用我们刚才的这个知识来进行一个快速的解答。好，给 5 分钟时间只做我们的第一小问和第二小问啊。好，来继续开始。

　　说话人 1

　　好，小组可以讨论看他有没有思想的碰撞。

　　说话人 3

　　好，还有 3 分钟时间。

　　说话人 1

　　我还没有看到我满意的结果哦。好，小组再花 2 分钟的时间讨论一下，把思想进行一个跨。

　　说话人 3

　　组装。

　　说话人 1

　　同学们的第二种情况，再。

　　说话人 3

　　好好思考一下。那个灯可以回转，我来看一下讨论的准备吧。没事，小组发挥小组合作的智慧，需要你的小组一起合你这就很有智慧，你看都做对吗?但是还欠缺一下讨论。

　　说话人 1

　　所以需要你们小组。

　　说话人 3

　　迸发集体的智慧啊。哎，讨论出来了没有?好的。

　　说话人 1

　　嗯，第二问再好，最后一个小数还要好好仔细体。

　　说话人 3

　　考一下。

　　说话人 1

　　嗯，再仔细思考一下，第二个小空。

　　说话人 3

　　我还没有看到我理解的答案。

　　说话人 1

　　哎，创造出来结果没有哎，真棒，就开始做第三份了，只认第一份和第二份都是。好。

　　说话人 3

　　的，我们再思考一下啊。行，再思考一下。第二条没有。

　　说话人 1

　　余数，说明你这个数字肯定是这样子。好，我们最后一分钟了，不到 30 一样的，你有没有分享给其他的小组的。

　　说话人 3

　　同学?因为他们。

　　说话人 1

　　都已经达成共识。

　　说话人 3

　　了，非常棒。那他的这个答案怎么和其他男人不一样?

　　说话人 1

　　隔壁小朋友圣。

　　说话人 3

　　地牢，抓紧时间。

　　说话人 3

　　好。

　　说话人 1

　　321 来时间到，请抬回头。有没有小组来跟我分享一下他们小组讨论结果最先举手那一小组来请你来先告诉我你们小组讨论的结果是什么?第一个。

　　说话人 3

　　第一题就是 120 度，好。

　　说话人 1

　　第一题是 120 度，好，其他小组有没有疑问?没有，好，热烈掌声送给他。第二个。

　　说话人 3

　　继续第二个，第一个空，就是 t 加30。

　　说话人 1

　　度， t 加30。

　　说话人 3

　　第二个有两种情况，一种就是还没回转，就是 180 度减2T。

　　说话人 1

　　有一个 180 减2T，还有。

　　说话人 3

　　一种就是已经回来了，就是 2T 减。

　　说话人 1

　　180， 2T 1 减去180，发现没有，这组同学懊悔对不对?好，来掌声送给他。但是刚才李老师听到了一些不同的声音，他说李老师，刚才我没有看明白这道题目是什么意思，那就请刚才的这一位同学和李老师两个人一起来动手感受一下这个光线的运动过程好不好?我也诚挚地邀请你来，不用拿笔，我们就动就可以了啊。你是这个，因为我岁数比较大，所以我就赚这个慢的，你比较年轻，你就赚这个快的，好不好?你来跟我们说这个运动过程是怎么样的?好，你来说，我来帮你复数。最开始好的灯 b 这里发出的射线先转了 30 度，继续，好的，又开始，同时继续旋转，好动好，他也转转转，看到了没有?好，然后。

　　说话人 3

　　然后现在谁的速度快一些?是 MA 这个MMAM。

　　说话人 1

　　撇啊， AM 一撇这条射线是不是要快一点?它什么时候就到了我们的。

　　说话人 3

　　终点了?

　　说话人 1

　　90 秒他就已经转到了终点，然而这个 BP 此时他转到终点的时候，他又没有转到终点，是不是没有啊?他转了是不是只转了多少度? 90 + 30120 度，所以此时他是不是有一个先开始的条件?他要干什么了?回转回来，此时是不是又会产生了另外一种情况?非常好，谢谢你来把掌声送给他们。

　　说话人 1

　　小组的讨论非常的激烈，实际上我们就把刚才现实生活当中的问题，通过小组的分类讨论，我们形成了一个建模的意识，就把它转化成为我们这种数学的一个模型，然后他在这里不停的旋转。那这一次通过分析同学们清楚没有?清楚了，好，那我们刚才有两种情况，那在这个旋转的过程当中，同学们感受这个光线在转动的过程当中，你会发现这两个光线会有哪些位置关系?我听到了有相交，平行垂直，实际上是不是相交的一种特殊情况啊?还有没有不相交的情况，对不对?好，那我们就挑出其中一种特殊的位置关系，平行的时候，请同学们小组自己来把这两副平行时候的图像先画出来，并且求出所对应的时间体来，我们计时 3 分钟开始吧。

　　说话人 3

　　好的。

　　说话人 1

　　好，有些同学还有一些小疑问，那我们可以看一下我们现前面的动画，好，再来思考一下。

　　说话人 3

　　我想看一下你们手上讨论的结果。没事。

　　说话人 1

　　这位同学作对呢。

　　说话人 3

　　这个 OK 吗?

　　说话人 1

　　改变好，最后一分钟，已经有不少同学都对了。

　　说话人 3

　　我不要告诉你。

　　说话人 1

　　最后十秒钟。

　　说话人 3

　　我看一下。

　　说话人 1

　　321，好，来，停。好，我们来看这一位同学，他们的分析，有请这一位同学来帮我们来分析一下他们小组讨论的一个结果，可以把你们小组讨论的过程以及角度的分析写在上面，来，请到前面来。好，我们掌声送给他，鼓励一下。

　　说话人 4

　　我这道题他可能写的有点错位，这个我写的这个过程是这，哈哈哈。他就是因为他前面说了那个角BPP， BP 一撇是 t 加 30 度，然后所以这个 QBP 撇是150T。因为这个我们要 AM 一撇跟 BP 一撇平行，所以我们就得让这个。

　　说话人 1

　　有点紧张。没事没事。

　　说话人 3

　　正常说，要不我拿个。

　　说话人 1

　　喜爱的啊?好的好的，他可能有点紧张，我们再以掌声来给他一些鼓励啊。他有点紧张，他刚才在求这个 150 减t，实际上是不是就是这个角的度数啊?那你想要和你刚才的这一个角是不是联系起来的时候，我是不是就要把它通过你平行?是不是转移过来?对不对?好，继续6。

　　说话人 4

　　课，我把 BP 撇延长，我设定的是x，然后这个 m 撇 a n，因为两边平行，同围角相等，最 m 撇 a n 就可以等于BXN。嗯，好的。然后我们知道那个 m a n，因为它还没有，就它还没有到 a n 还没有为准的时候，这个角的度数的话是。

　　说话人 3

　　180- 2 t，好的，是 180- 2 t，好的，那因为 p q 平行为 m n，所以认真听。

　　说话人 4

　　而内错表相等，所以第六情况是 150 减 t 等于 180- 2 t 就会 t 等于。

　　说话人 1

　　30。嗯，非常好。来第一种情况是不是正确的啊?好，第二种情况就是。

　　说话人 4

　　AME 撇已经到 AN 回转了，但是这个 BE 撇还没有到 BQ 那个边上。嗯，所以就发，因为已经回转了，所以 m 撇 a n 就是现在是 2T 减掉 180 度。好的，然后这上面因为还没有回准，还是 150 简币。然后还是把 BP 0 常设置一点，为 y 6 M a 角 m 撇 a n 就可以等于角BYN。然后内部长相等 2T 减 180 度等于150，减 t 就地位等于110。

　　说话人 1

　　好，来，我们掌声送给他，非常棒。

　　说话人 3

　　来，感谢他，好回复吧。

　　说话人 1

　　好的，实际上我们就在刚才的这种现实生活当中的问题抽象出来数学问题，再利用我们刚才分类讨论的步骤，把它按照它在 a n 回转之前和回转之后的两种情况来进行思考。实际上我们现实生活当中的问题抽象出来数学问题之后，我们还没有结束，我们还要把这种数学的问题，我们要尝试的建立起来我们所对应的数学模型。好建立起数学模型之后，我们才能把这个问题，好一类问题进行一个解决。好的，除了我们刚才的这一个动线的问题，还会有哪些动态的问题呢?动桨还会有动面，哎，非常好，那接下来李老师也准备了一个让面也跟着一起动起来的问题，我们一起来看一副三角板 ABC 保持不动，让另外一个三角板 CDE 绕着点 c 在旋转一周的过程当中，d、 e 是否会和三角形 ABC 当中的边平行。

　　说话人 3

　　呢?

　　说话人 1

　　好了，如果有，请你先把这一幅图画出来，我们给小组 5 分钟的讨论时间，好，开始。

　　说话人 1

　　对，可以拿出自己准备好的三角板尝试动一下，有的小组已经开始动起来了，你也可以把你准备好的三角板拿出来尝试动一下。

　　说话人 3

　　你上来就记忆和 b c p。

　　说话人 1

　　非常棒，就把经验分享给小组的其他同学。哇，这个草图画的，我们把那个尺子拿出来，把尺子拿出来，然后来相比擦一下，画得好一点啊。

　　说话人 1

　　你们小朋友没有讨论的。

　　说话人 3

　　都是讨论完了。好的，把自己不同的情况分享给其他的，他和谁平行，先把他的条件写在上面，对吧?这样我们会清晰。怎么呢?

　　说话人 3

　　它的非常重合吗?但是它可能是斜变的意义。

　　说话人 1

　　好，还有一分钟的时间，小组讨论，不着急不。

　　说话人 3

　　着急，这个是先和把它写出来第一批的。好，最后 30 秒。哦，画完了。是吗?那你待会还帮我推荐一下好吗?好的。

　　说话人 1

　　基本上都差不多了哈。

　　说话人 1

　　好，来，时间到，请同学们抬头，我们来看一下这一个小组的同学他们是怎么来思考的啊?来请他作为这个小组的代表，我们一起来看一下。来，抬头来。

　　说话人 5

　　它我用的是逆时针旋转的，然后。

　　说话人 3

　　我是这样子转的，所以它。

　　说话人 5

　　BE 首先是和 a C 平行，然后第二种就是DE。我这个两个画反了， DE 和 BC 平行，第三种就是 DE 和 AB 平行，第四种是DE， 180 度转过来和 a C 平行，第五种是也是 180 度转过来和 BC 平行。然后第六种就是d、e，也是根据这一种转过来跟a、C、A、 AB 平行。

　　说话人 1

　　稍等一下，同学们观察一下他画的过程当中，是不是好像有点思路混乱的意思，如果想要让这幅图变得更加的清晰，我最好读都把这个 d e 平行于 a b 给它，怎么样?放在一起是不是会好一些?而且我的最好是不是要写出来此时 d e 平行于我的谁呀?是不是AB，对吧?你比如说 d e 平行于 AB 的时候，那我们就把 d e 平行于 AB 的这一幅图和这一幅图是不是放在一起?是不是就好一些呀?好，非常好，来，掌声送给他们。好，这是他们小组讨论的结果啊。好，李老师也把它画了一下。好，我们一起来看一下啊。

　　说话人 1

　　当d、 e 和三角形 ABC 一条边平行的时候，首先可以来抬头看，不要着急换了 d e 可以先平行于AB，再次平行于AB，那这次平行于 a b 的时候，实际上它就分成了它和这个三角板，重叠之前和重叠之后是不是两种情况?好，第二个 de 平行于 AC 的时候，是不是可以上面 de 平行于AC，重叠之后再次 de 平行于AC?好，第三种是停 de 平行于 b seed 时候，第一次在相遇前平行，重叠前平行，第二次重叠之后是不是又再一次平行?好了?通过刚才的这一种研究，我现在又有一个小问题想问到大家，你能不能写出a、C、 d 的度数出来?好给同学们 3 分钟的时间，你来思考一下，可能都不需要 3 分钟好开始，所以你的图就很关键了，如果图画不好，可能你这个角度是不是就有点问题?

　　说话人 3

　　所以。

　　说话人 1

　　好，我们找人来分享啊，待会儿。

　　说话人 3

　　d e 平行于 b seed 时候， BCD 这个名字是什么?

　　说话人 1

　　小组同学要发挥小组团队的智慧，有些同学可能还没有想到，所以你要。

　　说话人 3

　　帮助他们。

　　说话人 1

　　做完的同学可以帮助自己小组的同学。

　　说话人 1

　　好， 10 秒钟。

　　说话人 1

　　好，我认识了一位帅哥，叫王道景同学。好，请王道景同学来帮我们分享一下，来，掌声送给他。对，第一个a、C、 d 是多少度?没事大声说，可以。

　　说话人 3

　　第一个的话这平行的话，所以这里应该是一个直角。

　　说话人 1

　　嗯，不用帮我们分析，可以直接输出它的度数，这里的话a、C。

　　说话人 3

　　d 就是这个是45。

　　说话人 1

　　好， 45 度。第二个a、C、d，这里。

　　说话人 3

　　应该是。

　　说话人 1

　　135 度，好。

　　说话人 3

　　第二个也是。

　　说话人 1

　　135，好。第四，a、 C 好，两直线平行，内侧角 45 度上来。好，最后两步有点难度了。

　　说话人 3

　　150。

　　说话人 1

　　度， 105 度，最后一个a、C、d。好，来，我们掌声送给王道景同学。实际上非常好，实际上我们刚才的这几种情况都可以利用我们刚才的这个三角板的度数以及平行线之间的关系，是不是求解出来?实际上你来观察一下每两个度数之间有什么特点，快快快观察一下。 8 诶，互补相加 180 没错的，这两个角加起来 180 有什么必然和偶然?

　　说话人 3

　　为什么会产生 100 多?你有没有思考过。

　　说话人 1

　　DE 这条边是不是再次和 AB 平行?你会发现这一幅图到这一幅图旋转了多少度?180，那此时的 CD 也跟着旋转了多少度? 180 那实际上 CD 是不是旋转到这条线上的延长线的位置啊?所以你会发现它实际上就是我们图形旋转的一些知识，那我们在图形的旋转这一章当中再进一步展开。

　　说话人 1

　　老师留一个作业，把这个问题变一下，不是 de 和它平行了，而是是否会有两条边和它平行，你如何来思考呢?交给你们小组一起讨论。下一节课我们来进行一个交流展示。好，学习完这节课你有哪些收获?积累了哪些经验?有没有人愿意和我分享一下?哎呀，好像没有收获啊，那位同学就是。

　　说话人 3

　　说我们在做分类讨论的那个题目的问题的过程中，我们应该把那种条件相似或者说做法相似的那个图，然后放到一起来进行计算，这样的话更好辨认。

　　说话人 1

　　嗯，非常好，这是通过最后一种类型的题目来掌声送给他，还有没有其他的经验和想法啊?这一位同学他刚才举手了，大家待会你再分享。

　　说话人 6

　　就是，我先说一下，就是这节课我们主要讲的内容就是首先是行程问题，成交问题要分类讨论，就是它距离的，就是两个人距离的铅笔，它可能是未相遇或者是已。

　　说话人 1

　　相遇。好。

　　说话人 6

　　因为条件的不确定，所以要分类讨论。嗯，然后我们又讲了，就是那个深港两地的那个偷渡，就是。

　　说话人 1

　　怎么说案件，然后实际上是把这种实际上。

　　说话人 6

　　就是实际是现实生活转化成了数学问题。

　　说话人 1

　　嗯，然后在这个过程当中我们说题。

　　说话人 6

　　我们就是继续。

　　说话人 1

　　用分类讨论的思想把这个问题是不是解决了?嗯，好，非常，最后还有。

　　说话人 3

　　那个。

　　说话人 6

　　叫什么?就是最后就是通过这个量角器，不不不，不，那个。

　　说话人 1

　　这个。

　　说话人 3

　　三角板，然后做了一个。

　　说话人 6

　　怎么说呢?就是一个比较简单的动手操练的这个题目，嗯，然后同时也要运动分类思，分类讨论的。

　　说话人 1

　　思想，用分类讨论的思想来解决了我们这个问题，总结的太全面了，从头到尾帮我们总结了一遍，非常棒。其实李老师想告诉大家，这就是我们数学，我们在学习数学的过程当中，并不是说数学只是为了学习，而是为了更好地服务于生活。因为数学永远都是来源于生活，从生活中来，到生活中去，我们从现实生活当中抽象出来的数学问题，我们可以在数学问题解决过程当中建立起数学模型，而这个数学模型又反作用，也就是帮助我们所有人来解决我们的现实生活问题。今天的这一节课实际上是想告诉大家这些。好，那我们今天上到这里下课，同学们辛苦了，谢谢大家。